dst corrigé
authorDenise sur Titasmo <denise.maurice@normalesup.org>
Tue, 17 May 2016 10:00:59 +0000 (12:00 +0200)
committerDenise sur Titasmo <denise.maurice@normalesup.org>
Tue, 17 May 2016 10:00:59 +0000 (12:00 +0200)
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index 2aaf1e6..17a468d 100644 (file)
@@ -30,15 +30,49 @@ Stats :
 \item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = -x^2 + 3$. 
 \begin{enumerate}
   \item Écrire le taux d'accroissement (noté $r(h)$) de la fonction $f$ en $a=2$. En calculant la limite quand $h\rightarrow 0$, donner le nombre dérivé de $f$ en $2$.\bareme{1,5}
+\reponse{
+\begin{eqnarray*}
+r(h)  &= & \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\\
+& = & \frac{-(2+h)^2 + 3 - ( -2^2 + 3)}{h} \\
+& = & \frac{-(4 + 4h + h^2) + 3 + 4 - 3}{h} \\
+& = & \frac{h^2 - 4h}{h} \\
+& = & \frac{h(h-4)}{h} \\
+& = & h-4 \text{ pour }h\not=0
+\end{eqnarray*}
+
+On a donc $\lim_{h\rightarrow 0} r(h) = -4$
+
+Donc \cadrem{f'(2) = -4}
+}
   \item Calculer la fonction dérivée de $f$, et en déduire $f'(2)$. Vérifier qu'on obtient le même résultat qu'à la question a). \bareme{1}
+\reponse{
+\[f'(x) = -2x \]
+\[ f'(2) = -4 \]
+}
   \item Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x=2$.\bareme{1}
+\reponse{On a $a=2$, $f(a) = -2^2 + 3 = -1$ et $f('a) = -4$.
+
+L'équation de la tangente est :
+\[ y = f'(a)x -af'(a) + f(a) = -4x - 2\times(-4) + (-1) = -4x + 7 \]
+\[ \cadrem{y=-4x + 7} \]
+}
 \end{enumerate} 
 \item Calculer la dérivée des fonctions suivantes (préciser l'ensemble sur lequel la dérivée est définie lorsque ce n'est pas $\R$) : \bareme{4,5}
 \begin{enumerate}
   \item $g(x) = 7x^6 + 3x^2 - x + 9$ \bareme{0,5}
-  \item $h(x) = 3\sqrt{x} - \frac{26}{x} + x^{30}$ \bareme{0,75 et 0,25 pour l'ensemble}
-  \item $i(x) = (2x+5)(-x + 1)$ \bareme{1,5}
-  \item $j(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ \bareme{1,25 et 0,25 pour l'ensemble}
+\reponse{Dérivable sur $\R$ :
+\[ g'(x) = 7 \times (6x^5) + 3 \times (2x) - 1 = 42x^5 + 6x - 1\]
+}
+  \item $h(x) = 3\sqrt{x} - \frac{26}{x} + x^{30}$ \bareme{0,75 et 0,25 pour l'ensemble} \reponse{Dérivable sur $]0; +\infty[$ (à cause de la racine carrée et de la fraction).
+\[ h'(x) = 3 \times \frac{1}{2 \sqrt x} - 26 \times{-1}{x^2} + 30x^{29} = \frac{3}{2\sqrt x} + \frac{26}{x^2} + 30x^{29}
+\]}
+  \item $i(x) = (2x+5)(-x + 1)$ \bareme{1,5} \reponse{ Dérivable sur $\R$. $i$ est de la forme $u\tims v$ avec :
+\[ u(x) = 2x+5 \qquad u'(x) = 2\]
+\[ v(x) = -x + 1 \qquad v'(x) = -1\]
+\[i'(x) =  u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 2\times(-x+1) + (2x+5)\times (-1) = -2x + 2 -2x - 5 = -4x - 3\]}
+  \item $j(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ \bareme{1,25 et 0,25 pour l'ensemble} \reponse{
+valeurs interdites : telles que $x^2-1 = 0$
+}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
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