corrigé DST 2nde
authorDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Mon, 4 Apr 2016 20:22:07 +0000 (22:22 +0200)
committerDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Mon, 4 Apr 2016 20:22:07 +0000 (22:22 +0200)
2nde/DST_7/calc.png [new file with mode: 0644]
2nde/DST_7/calc.xcf [new file with mode: 0644]
2nde/DST_7/droites.ggb
2nde/DST_7/droites_corrige.pdf [new file with mode: 0644]
2nde/DST_7/droites_corrige.png [new file with mode: 0644]
2nde/DST_7/dst7.tex
2nde/DST_7/dst7_corrige.pdf
2nde/DST_7/dst7_enonce.pdf
avis_inspec.pdf [new file with mode: 0644]

diff --git a/2nde/DST_7/calc.png b/2nde/DST_7/calc.png
new file mode 100644 (file)
index 0000000..6f88e15
Binary files /dev/null and b/2nde/DST_7/calc.png differ
diff --git a/2nde/DST_7/calc.xcf b/2nde/DST_7/calc.xcf
new file mode 100644 (file)
index 0000000..796186b
Binary files /dev/null and b/2nde/DST_7/calc.xcf differ
index 7f19795..ebff263 100644 (file)
Binary files a/2nde/DST_7/droites.ggb and b/2nde/DST_7/droites.ggb differ
diff --git a/2nde/DST_7/droites_corrige.pdf b/2nde/DST_7/droites_corrige.pdf
new file mode 100644 (file)
index 0000000..006cc0b
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\ No newline at end of file
diff --git a/2nde/DST_7/droites_corrige.png b/2nde/DST_7/droites_corrige.png
new file mode 100644 (file)
index 0000000..ce8029d
Binary files /dev/null and b/2nde/DST_7/droites_corrige.png differ
index 656ba74..8b586db 100644 (file)
 \begin{enumerate}
 \item Dans le repère orthonormé ci-dessous, donner les équations des droites $\D_1$, $\D_2$ et $\D_3$. \bareme{1,5}
 
+\corrige
+\includegraphics[width=8cm]{droites_corrige.png}
+\else
 \includegraphics[width=10cm]{droites.pdf}
+\fi
+
+\reponse{\[
+\D_1~: y=2x-1 \qquad \D_2~: x=-1 \qquad \D_3~: y=-x + 4
+\]}
 
 \item Dans ce même repère, tracer les droites suivantes :\bareme{2} 
 \[ \D_4~: y = x-3 \qquad \D_5~: y = \frac{1}{2}x +1\]
 \item Montrer que $\D_4$ et $\D_5$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $K$. \bareme{1,5}
+\reponse{
+$\D_4$ et $\D_5$ sont sécantes car leurs coefficients directeurs sont différents ($1$ et $\frac{1}{2}$).
+
+On résout le système :
+\[\systeme{y = x-3\\y=\frac{1}{2}x + 1}\]
+On remplace la première équation dans la seconde :
+\[ 
+x-3 = \frac{1}{2}x + 1 \equi x - \frac{1}{2}x = 1 + 3 \equi \frac{1}{2}x = 4 \equi x = 8
+\]
+On remplace dans la première équation :
+\[
+y = 8 - 3 = 5
+\]
+
+Le point d'intersection des droites est donc $K(8; 5)$.
+}
 \item Dans un repère orthonormé, on a $A(-3; 4)$, $B(3; 2)$, $C(-2, 1)$ et $D(1; 0)$.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. \bareme{1}
+\reponse{On calcule les coefficients directeurs de $(AB)$ et $(CD)$ :
+
+Pour $(AB)$ : $a = \frac{4 - 2}{-3-3} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
+
+Pour $(CD)$ : $a = \frac{1-0}{-2-1} = -\frac{1}{3}$
+
+$(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur.
+}
 \item Montrer que $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes. \bareme{1}
+\reponse{
+
+Pour $(AC)$ : $a = \frac{4-1}{-3-(-2)} = \frac{3}{-1} = -3$
+
+Pour $(BD)$ : $a = \frac{2-0}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$
+
+$(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes car elles n'ont pas le même coefficient directeur.
+}
 \item On donne $E(-1; -2)$. Montrer que $A$, $C$ et $E$ sont alignés, et que $B$, $D$ et $E$ sont alignés. \bareme{1}
+\reponse{
+
+Pour $(AE)$ : $a = \frac{4-(-2)}{-3-(-1)} = \frac{6}{-2} = -3$
+
+Pour $(AC)$ : $a = -3$
+
+Donc $A$, $C$ et $E$ sont alignés.
+
+
+Pour $(BE)$ : $a = \frac{2-(-2)}{3-(-1)} = \frac{4}{4} = 1$
+
+Pour $(BD)$ : $a = 1$
+
+Donc $B$, $D$ et $E$ sont alignés.
+}
 \item En déduire que $E$ est le point d'intersection de $(AC)$ et $(BD)$ \bareme{0,5}
+\reponse{$E$ est sur les droites $(AC)$ et $(BD)$. Comme ces droites sont sécantes, cela veut dire que $E$ est le point d'intersection de ces deux droites.
+}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 Marion possède une pièce de monnaie, qu'elle soupçonne de ne pas être équilibrée. Dans un premier temps, elle effectue 50 lancers, et obtient 30 fois pile.
 \begin{enumerate}
 \item Peut-on conclure que la pièce est truquée (avec \upc{95} de chances) ? Justifier. \bareme{1,5}
+\reponse{
+$p = 0,5 \in [0,2: 0,8]$
+
+$n = 50 \geq 25$
+
+$f = \frac{30}{50} = 0,6$
+
+L'intervalle de fluctuation au seuil de $0,95$ est
+\[
+IF = \left[ p - \frac{1}{\sqrt n}; p + \frac{1}{\sqrt n}\right] = \left[ 0,5 - \frac{1}{\sqrt{50}}; 0,5 + \frac{1}{\sqrt{50}}\right] \simeq [0,359; 0,641]
+\]
+
+$f \in IF$, donc on ne peut pas conclure que la pièce n'est pas équilibrée pour le moment.
+}
 \item Elle effectue ensuite 200 lancers, et obtient 118 \og pile \fg. Peut-elle en conclure, cette fois, que la pièce est truquée ? \bareme{1}
-\item Elle souhaite déterminer quelle est la proabilité d'obtenir pile. Avec 500 lancers, elle a cette fois 302 pile. Dans quel intervalle se situe la probabilité d'avoir pile pour cette pièce (avec \upc{95} de certitude) ?\bareme{1}
+\reponse{
+$p = 0,5 \in [0,2: 0,8]$
+
+$n = 200 \geq 25$
+
+$f = \frac{118}{200} = 0,59$
+
+L'intervalle de fluctuation au seuil de $0,95$ est
+\[
+IF = \left[ 0,5 - \frac{1}{\sqrt{200}}; 0,5 + \frac{1}{\sqrt{200}}\right] \simeq [0,429; 0,571]
+\]
+
+Cette fois $f \not\in IF$, donc il y a de bonnes chances que la pièce soit truquée.
+}
+\item Elle souhaite déterminer quelle est la probabilité d'obtenir pile. Avec 500 lancers, elle a cette fois 302 pile. Dans quel intervalle se situe la probabilité d'avoir pile pour cette pièce (avec \upc{95} de certitude) ?\bareme{1}
+\reponse{$f = \frac{302}{500} = 0,604 \in [0,2; 0,8]$
+
+$ n = 500 \geq 25$
+
+L'intervalle de confiance au seuil de $0,95$ est :
+
+\[
+IC = \left[ f - \frac{1}{\sqrt n}; f + \frac{1}{\sqrt n} \right] = \left[0,604 - \frac{1}{\sqrt{500}}; 0,604 + \frac{1}{\sqrt{500}} \right] \simeq [0,559; 0,649]
+\]
+
+La probabilité d'avoir pile se situe, avec \upc{95} de certitude, dans l'intervalle $[0,559; 0,649]$.
+}
+
 \item Elle veut obtenir cette proabilité à $0,01$ près, c'est à dire que l'intervalle dans lequel se situe la probabilité ne doit pas avoir une amplitude plus grande que $0,01$. Combien de lancers doit-elle faire (au moins) ? \bareme{1}
+
+\reponse{
+On veut que l'intervalle ait une amplitude d'au plus $0,01$. Or comme l'amplitude de l'intervalle de confiance est de $f + \frac{1}{\sqrt n} - \left(f - \frac{1}{\sqrt n} \right) = \frac{2}{\sqrt n}$, cela veut dire qu'on veut avoir $ \frac{2}{\sqrt n} \leq 0,01 \equi \frac{2}{0,01} \leq \sqrt n \equi n \geq 200$. On doit donc avoir $n \geq 200^2 = 40\, 000$ lancers.
+}
 \end{enumerate}
 
 \section{Statistiques (3)}
 Vrai ou faux ? Justifier. \bareme{3}
 \begin{enumerate}
 \item Il existe une série statistique où la moyenne est au moins deux fois plus grande que la médiane.
-\item Pour toute série statistique, la moyenne est contenue dans l'intervalle interquartile.
-\item Il existe une série statistique où la moyenne est contenue dans l'intervalle interquartile.
+\reponse{Vrai. Un exemple : la série $1-1-100$. La médiane est $1$ et la moyenne est $102/3 = 34$ : la moyenne est bien plus grande que la médiane, et plus de deux fois.
+}
+\item Pour toute série statistique, la moyenne est contenue dans l'intervalle interquartile. \reponse{Faux. Contre-exemple : la série $1-1-1-1-100$. La moyenne est $20,8$, et l'intervalle interquartile est $[1; 1]$.
+}
+\item Il existe une série statistique où la moyenne est contenue dans l'intervalle interquartile. \reponse{Vrai. Par exemple, la série $1-2-3-4-5$. la moyenne est $3$, et l'intervalle interquartile est $[2; 4]$.
+}
 \end{enumerate}
 
 
@@ -63,16 +169,40 @@ On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant à la
 vente de $x$ vases fabriqués. Un vase est vendu à \ueur{50}.
 \begin{enumerate}
 \item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$. \bareme{0,5}
+\reponse{\[R(x) = 50x \]
+}
 \item Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan fabrique et vend $50$ vases. \bareme{1}
+\reponse{
+\[C(50) = 50^2 - 10\times 50 + 500 = \ueur{2500} \]
+\[R(50) = 50 \times 50 = \ueur{2500} \]
+}
 \item Vérifier que le bénéfice, en euros, réalisé par l'artisan est donné par la fonction B dont l'expression est : \bareme{0,5}
 \[ B ( x ) = - x^2 + 60x - 500 \]
+\reponse{
+Le bénéfice est égal aux recettes moins le coût de fabrication, donc
+\[ B(x) = R(x) - C(x) = 50x - (x^2-10x+500) = -x^2 + 60x - 500\]
+}
 \item À l'aide de la calculatrice, déterminer le tableau de variations de $B$ sur l'intervalle $[0; 60]$. \bareme{1,5}
+\reponse{À la calculatrice, on obtient le graphique suivant, en choisissant $[0;60]$ en $X$ et le zoom automatique pour $Y$ :
+
+\includegraphics[width=5cm]{calc.png}
+
+On en déduit le tableau de variations :
+
+\variations
+x & 0 & & 30 & & 60 \\
+B(x) & \b{-500} & \c & \h{400} & \d & \b{-500}\\
+\fin
+
+}
 \item En déduire combien de vases l'artisan doit fabriquer pour obtenir un bénéfice maximum. \bareme{0,5}
+\reponse{L'artisant doit donc fabriquer $30$ vases pour un bénéfice maximum (de \ueur{400} en l'occurrence).
+}
 \end{enumerate}
 
 \section{Bonus}
 Déterminer tous les triangles rectangles dont les dimensions sont trois entiers consécutifs.
 
-
+\reponse{Indication : si on note $x$ la longueur du plus petit côté, alors les deux autres dimensions sont $x+1$ et $x+2$. On peut alors exprimer, sous forme d'équation, la condition nécessaire et suffisante pour que le triangle soit rectangle...}
 
 \end{document}
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index 0000000..c64bbe6
Binary files /dev/null and b/avis_inspec.pdf differ