dm5 1ere corrigé
authorDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Tue, 9 Feb 2016 22:52:40 +0000 (23:52 +0100)
committerDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Tue, 9 Feb 2016 22:52:40 +0000 (23:52 +0100)
1ere/DM_5/dm5.tex
1ere/DM_5/dm5_corrige.pdf
1ere/DM_5/dm5_enonce.pdf

index 3d3ad478b635be5324a63d0d74102c7c3c2f690a..92c04947111499055a67e6c25dc065cf909bab51 100644 (file)
@@ -20,6 +20,24 @@ En utilisant la méthode de votre choix, déterminer l'expression de $f$.
 
 \emph{Laissez les traces de vos démarches, même (et surtout) si elles n'ont pas abouti.}
 
+\reponse{Une possibilité est d'abord de repérer le sommet : $S(-2; 1)$. On sait donc que $f$ est de a forme :
+\[ f(x) = a(x+2)^2 + 1\]
+
+Pour trouver $a$, on peut utiliser un point particulier "qui tombe juste". Par exemple, $(-5; -2)$. Cela donne donc :
+\begin{eqnarray*}
+& & f(-5) = -2 \\
+&\equi & a(-5+2)^2 + 1 = -2 \\
+& \equi & a\times (-3)^2 + 1 = -2 \\
+&\equi & a = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}
+\end{eqnarray*}
+
+On a trouvé $a<0$, et on voit bien que la parabole est tournée vers le bas donc le signe (au moins) est cohérent.
+
+Donc \cadrem{f(x) = -\frac{1}{3}(x+2)^2 +1}
+
+
+}
+
 
 \section{Inéquations du second degré}
 
@@ -32,11 +50,51 @@ On souhaite résoudre l'inéquation
 \[
 \frac{x^2 + 3x -4}{-2x^2 + x} \geq 0
 \]
+\reponse{
+\begin{eqnarray*}
+& & \frac{3x^2 + 2x - 4}{-2x^2 + x} \geq - 1 \\
+& \equi & frac{3x^2 + 2x - 4}{-2x^2 + x} + 1 \geq 0 \\
+& \equi & frac{3x^2 + 2x - 4}{-2x^2 + x} + \frac{-2x^2 + x}{-2x^2 + x} \geq 0 \\
+& \equi & \frac{3x^2 + 2x - 4 + -2x^2 + x}{-2x^2 + x} \geq 0 \\
+& \equi & \frac{x^2 +3x -4}{-2x^2 + x} \geq 0 
+\end{eqnarray*}
+}
 \item Chercher les racines du polynôme du numérateur (que vous pouvez appeler $N(x)$), puis celles du dénominateur ($D(x)$). En déduire les valeurs interdites au passage.
+
+\reponse{Racines du numérateur :
+\[\Delta = 3^2 -4 \times (-4) = 25\]
+Deux racines :
+\[x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \qquad x_2 = \frac{-3 -5}{2} = -4\]
+
+Racines du dénominateur :
+\[ \Delta = 1\]
+Deux racines :
+\[x_1 = \frac{-1 + 1}{-4} = 0 \qquad x_2 = \frac{-1-1}{-4} = \frac{1}{2}\]
+
+Les valeurs interdites sont donc $0$ et $1/2$.
+}
 \item Dresser un tableau de signe avec le numérateur et le dénominateur, et en déduire le signe de l'expression à l'aide de la règle du signe du quotient (n'hésitez pas à utiliser la calculatrice ou un logiciel pour vérifier la cohérence du tableau de signe). Pour rappel, une valeur interdite s'indique par une double barre dans un tableau de signe.
+
+\reponse{
+
+\variations
+x & \mI & & -4 & & 0 & & 1/2 & & 1 & & \pI \\
+N(x) & \ga{+} & \z & - & \l & - & \l & - & \z & \dr{+} \\
+D(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & - & \l & \dr- \\
+\frac{N(x)}{D(x)} & \ga- & \z & + & \bb & - & \bb & + & \z & \dr- \\
+\fin
+
+Explications : le signe de $N(x)$ et de $D(x)$ est "standard". Ensuite pour celui du quotient, on applique la règle des signes, qui est la même que pour le produit, à l'exception des "zéros" : le quotient "0/quelque chose" donne 0, alors que le quotient "quelque chose/0" n'est pas défini (d'où la double barre).
+
+}
+
 \item Conclure sur l'ensemble solution de l'inéquation.
 
-\reponse{$[-4; 0[ \cup ]1/2; 1]$.}
+\reponse{ On lit alors quels sont les intervalles où le quotient est positif ou nul : 
+\cadrem{\Sol = [-4; 0[ \cup ]1/2; 1]}
+
+On pense à inclure $-4$ et $1$ puisqu'en ces valeurs, le quotient est égal à $0$ (et on cherche un résultat positif \emph{ou nul}), par contre on pense à exclure $0$ et $1/2$, puisque ce sont des valeurs interdites.
+}
 \end{enumerate}
 
 \end{document}
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