corrigés DMs (hors ligne)
authorDenise sur Titasmo <denise.maurice@normalesup.org>
Sat, 14 May 2016 08:00:48 +0000 (10:00 +0200)
committerDenise sur Titasmo <denise.maurice@normalesup.org>
Sat, 14 May 2016 08:00:48 +0000 (10:00 +0200)
1ere/DM_7/dm7.tex
1ere/DM_7/dm7_corrige.pdf [new file with mode: 0644]
1ere/DM_7/dm7_enonce.pdf [moved from 1ere/DM_7/dm7.pdf with 86% similarity]
2nde/DM_7/dm7.tex
2nde/DM_7/dm7_corrige.pdf
2nde/DM_7/dm7_enonce.pdf
2nde/DM_7/exo1.ggb [new file with mode: 0644]
2nde/DM_7/exo1.png [new file with mode: 0644]
2nde/DM_7/exo1bis.png [new file with mode: 0644]
2nde/algo/tri/tri_retours/hotelretouche.pdf [new file with mode: 0644]
2nde/algo/tri/tri_retours/retours.pdf

index 8ecedd4..c841a1b 100644 (file)
@@ -22,7 +22,7 @@
 Il y a une valeur interdite en $x=-1$ mais comme on la considère sur $[-0,5; 2]$ on n'a pas de problème de valeur interdite.
 
 $f$ est de la forme \og 1/v \fg avec $v(x) = 1+x$, $v'(x) = 1$.
-\[ f'(x) = - \frac{u'(x)}{u(x)^2} = - \frac{1}{(1+x)^2}\]
+\[ f'(x) = - \frac{v'(x)}{v(x)^2} = - \frac{1}{(1+x)^2}\]
 
 Le nombre dérivé en $0$ est donc $f'(0) = - \frac{1}{(1+x)^2} = -1$
 
@@ -36,14 +36,44 @@ On a $f(0) = 1$, donc l'équation de la tangente est
 }
 \item On pose \[ d(x) = f(x) - (1-x) = \frac{1}{1+x} - (1-x)  \]
 Interpréter graphiquement le nombre $d(x)$, à l'aide (éventuellement) du graphique.
+\reponse{$d(x)$ représente l'écart entre la courbe de $f$ et sa tangente $T$.
+}
 \item Calculer $d(x)$ pour $x=1$, $x=0,1$, $x=0,001$, $x=0,00001$.
+\reponse{
+\[d(1) = 0,5 \]
+\[d(0,1) \simeq  0.0091 \]
+\[d(0,001) \simeq 1 \times 10^{-6}\]
+\[d(0,00001) \simeq 1 \times 10^{-10}\]
+}
 \item Expliquer pourquoi $\frac{1}{1+x}$ est voisin de $1-x$ quand $x$ se rapproche de $0$.
+\reponse{Lorsque $x$ se rapproche de $0$, la courbe est presque confondue avec sa tangente, donc c'est normal de voir très peu de différence entre $\frac{1}{1+x}$ et $1-x$.
+
+}
 \end{enumerate}
 \item Un article vaut $\ueur{70}$ après augmentation de \upc{15}.
 \begin{enumerate}
-  \item Déterminer le prix $d$ de cet article avant augmentation.
+  \item Déterminer le prix \rouge{$P$} de cet article avant augmentation.
+\reponse{On a
+\[ P \times 1,15 = 70 \equi P = \frac{70}{1,15} \simeq \ueur{60,87}\]}
   \item Quel est l'écart entre $d$ et le résultat obtenu si on commet l'erreur de multiplier $70$ par $1 - \frac{15}{100}$ ?
+\reponse{On obtiendrait un prix :
+\[ P' = 70 \times (1-\frac{15}{100}) = \ueur{59,5}\]
+
+La différence serait donc
+\[ d = P - P' = \ueur{1,37} \]
+}
   \item Que dire si, au lieu de $\upc{15}$ on avait une augmentation de \upc{x}, avec $x$ \og très petit \fg ?
+\reponse{La différence de prix se calculerait de la même manière, avec $x$ à la place de $15$ :
+\begin{eqnarray*}
+ d & = & P - P' \\
+& = & \frac{70}{1+x} - 70(1-x)\\
+& = & 70(\frac{1}{1+x} - (1-x))
+\end{eqnarray*}
+Or on a vu dans les questions précédentes que cette quantité était très proche de $0$ lorsque $x$ était proche de $0$ : l'écart de prix serait quasiment négligeable.
+
+
+Remarque : c'est une des raisons pour lesquelles beaucoup de gens se trompent sur les pourcentages : l'opération inverse d'ajouter \upc{x} n'est pas de retirer \upc{x}. Pour des valeurs faibles de $x$, c'est très proche (ce qui entretient la confusion), mais pas pour des valeurs plus grandes...
+}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
diff --git a/1ere/DM_7/dm7_corrige.pdf b/1ere/DM_7/dm7_corrige.pdf
new file mode 100644 (file)
index 0000000..3130a86
Binary files /dev/null and b/1ere/DM_7/dm7_corrige.pdf differ
similarity index 86%
rename from 1ere/DM_7/dm7.pdf
rename to 1ere/DM_7/dm7_enonce.pdf
index 7e505cd..ed90dcb 100644 (file)
Binary files a/1ere/DM_7/dm7.pdf and b/1ere/DM_7/dm7_enonce.pdf differ
index 8ab5b2d..d52fc4e 100644 (file)
@@ -23,12 +23,43 @@ On souhaite résoudre l'inéquation suivante : \begin{equation}\label{1} \frac{x
 
 \begin{enumerate}
 \item Tracer (à l'aide de geogebra, ou un autre logiciel, au pire à la main soigneusement) la courbe de $f$ définie par $f(x) = \frac{x^2-3}{-x+3}$ et en déduire, graphiquement, la solution de cette inéquation.
+
+\reponse{À première vue, on lit la solution de l'inéquation $\Sol = [-1; 1]$, mais lorsqu'on \og zoome \fg en arrière, on constate qu'il y a un autre morceau de courbe plus bas. Ainsi \cadrem{\Sol = [-1; 1] \cup ]3; +\infty [}}
+
 \item En regroupant les termes de l'inéquation, en réduisant au même dénominateur, et en factorisant le numérateur, montrer que l'inéquation~\eqref{1} est équivalente à 
 \[
 \frac{x(x-1)}{-x + 3} \leq 0
 \]
+
+\reponse{
+\begin{eqnarray*}
+\eqref{1} & \equi & \frac{x^2-3}{-x+3} \leq - 1 \\
+& \equi & \frac{x^2-3}{-x+3} +1 \leq 0 \\
+& \equi & \frac{x^2-3}{-x+3} +\frac{-x + 3}{-x + 3} \leq 0 \\
+& \equi & \frac{x^2 - 3 - x + 3}{-x + 3} \leq 0 \\
+& \equi & \frac{x^2 - x}{-x + 3} \leq 0\\
+& \equi & \frac{x(x-1)}{-x + 3} \leq 0
+\end{eqnarray*}
+}
 \item Dresser le tableau de signe du membre de gauche. \emph{Ce tableau de signe n'est pas plus compliqué à réaliser que ce qui a été vu : étudier le signe de chaque \og élément \fg, et regrouper les trois éléments dans un tableau. Attention à la valeur interdite !}
-\item En déduire la solution de l'inéquation~\eqref{1}.
+\reponse{
+Pour $x$ : $\frac{-b}{a} = 0$
+
+Pour $x-1$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{1} = 1$
+
+Pour $-x + 3$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-3}{-1} = 3$
+
+\variations
+x & \mI & & 0 & & 1 & & 3 & & \pI \\
+x & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
+x-1 & \ga- & \l & - & \z & - & \l & \dr+ \\
+-x + 3 & \ga+ & \l & + & \l & + & \z & \dr- \\
+ \frac{x(x-1)}{-x + 3} & \\ga+ & \z & - & \z & + & \bb & \dr- \\
+\fin
+}
+
+\item En déduire la solution de l'inéquation~\eqref{1}.\reponse{On lit dans le tableau de signe que la solution de l'inéquation est \cadrem{\Sol = [0; 1] \cup ]3; +\infty[}. Comme cette inéquation est équivalente à \eqref{1}, c'est la solution de l'inéquation de départ.
+}
 \end{enumerate}
 
 
index b09c94d..10a0dd0 100644 (file)
Binary files a/2nde/DM_7/dm7_corrige.pdf and b/2nde/DM_7/dm7_corrige.pdf differ
index a76ddcb..62af83a 100644 (file)
Binary files a/2nde/DM_7/dm7_enonce.pdf and b/2nde/DM_7/dm7_enonce.pdf differ
diff --git a/2nde/DM_7/exo1.ggb b/2nde/DM_7/exo1.ggb
new file mode 100644 (file)
index 0000000..6bb0079
Binary files /dev/null and b/2nde/DM_7/exo1.ggb differ
diff --git a/2nde/DM_7/exo1.png b/2nde/DM_7/exo1.png
new file mode 100644 (file)
index 0000000..b38c03e
Binary files /dev/null and b/2nde/DM_7/exo1.png differ
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new file mode 100644 (file)
index 0000000..f83dfb6
Binary files /dev/null and b/2nde/DM_7/exo1bis.png differ
diff --git a/2nde/algo/tri/tri_retours/hotelretouche.pdf b/2nde/algo/tri/tri_retours/hotelretouche.pdf
new file mode 100644 (file)
index 0000000..daa5af7
Binary files /dev/null and b/2nde/algo/tri/tri_retours/hotelretouche.pdf differ
index a128edd..cd50e6c 100644 (file)
Binary files a/2nde/algo/tri/tri_retours/retours.pdf and b/2nde/algo/tri/tri_retours/retours.pdf differ