corrigés divers
authorDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Tue, 10 May 2016 21:45:55 +0000 (23:45 +0200)
committerDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Tue, 10 May 2016 21:45:55 +0000 (23:45 +0200)
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@@ -23,16 +23,78 @@ On considère, dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, trois points $A(1;7)$, $B(
 \begin{enumerate}
 \item
 Déterminer les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $C'$, milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.
+
+\reponse{Milieu de $[BC]$ :
+\[x_{A'} = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \qquad y_{A'} = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-5 -1}{2} = -3 \]
+Donc \cadrem{A'(1; -3)}
+
+Milieu de $[AC]$ :
+\[x_{B'} = \frac{1+7}{2} = 4 \qquad y_{B'} = \frac{7-1}{2} = 3\]
+Donc \cadrem{B'(4; 3)}
+
+Milieu de $[AB]$ :
+\[x_{C'} = \frac{1-5}{2} = -2 \qquad y_{C'} = \frac{7-5}{2} = 1 \]
+Donc \cadrem{C'(-2; 1)}
+}
 \item
 Déterminer l'équation des droites $(AA')$ et $(BB')$.
+
+\reponse{
+On a $x_A = 1 = x_{A'}$ donc l'équation est de la forme $x=c$.
+
+Donc \cadrem{(AA')~:~ x=1}
+
+Pour $(BB')$ :
+\[ a = \frac{-5 - 3}{-5 - 4} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}
+\]
+On a $y=\frac{8}{9}x + b$ avec $B(-5; -5)$.
+\[-5 = \frac{8}{9} \times (-5) + b \equi b = -5 + \frac{40}{9} = - \frac{5}{9} \]
+
+Donc \cadrem{(BB')~:~ y=\frac{8}{9}x - \frac{5}{9}}
+
+}
+
 \item
 Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $K$.
+
+\reponse{On résout le système :
+\[
+\systeme{x=1 \\y=\frac{8}{9}x - \frac{5}{9}}
+\]
+On remplace la première dans la seconde équation :
+\[y = \frac{8}{9} \times 1 - \frac{5}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
+
+D'où \cadrem{K\left( 1; \frac{1}{3}\right)}
+}
 \item
 Montrer, par le calcul, que $K$ appartient à la droite $(CC')$.
+
+\reponse{Il y a plusieurs façons de procéder. L'une consiste à calculer l'équation de la droite $(CC')$, puis vérifier que $K$ est bien sur cette droite. Le plus simple est (probablement) de vérifier que $C$, $C'$ et $K$ sont alignés en calculant juste les coefficients directeurs :
+
+Pour $(CC')$ : $a = \frac{-1-1}{7-(-2)} = -\frac{2}{9}$
+
+Pour $(CK)$ : $a = \frac{-1-\frac{1}{3}}{7-1} = \frac{\frac{-4}{3}}{6} = \frac{-4}{3\times 6} = -\frac{4}{18} = -\frac{2}{9}$
+
+Donc $C$, $K$ et $C'$ sont alignés, ce qui montre que $K \in (CC')$.
+}
 \item
 Quel théorème classique de géométrie aurait permis de démontrer le résultat précédent?
+
+\reponse{Le théorème disant que les trois médianes (droites passant par le milieu d'un côté et le sommet opposé) sont concourantes. 
+
+%Ce point est d'ailleurs appelé \og centre de gravité \fg du triangle.
+}
 \item
 Montrer que $K$ est situé aux deux-tiers du segment $[AA']$, en partant du point $A$.
+
+\reponse{On compare les longueurs $AA'$ et $AK$ :
+\[AA' = \sqrt{(1-1)^2 + (7-(-3))^2} = \sqrt{100} = 10 \]
+\[AK = \sqrt{(1-1)^2 + \left(7 - \frac{1}{3}\right)^2}  = \sqrt{\left( \frac{20}{3} \right)^2} = \frac{20}{3} \]
+
+On a $\frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$, donc $AK = \frac{2}{3} AA'$.
+
+(Note : c'est aussi une propriété donnée par le théorème de la question précédente !)
+}
 \end{enumerate}
 
 
@@ -43,13 +105,67 @@ $(E) : x^2-y^2=0$.
 \begin{enumerate}
 \item
 Déterminer dix points, répartis dans chacun des quatre quadrants, dont les coordonnées vérifient l'équation donnée et les placer dans le repère $(O;I,J)$.
+\reponse{On peut avoir, par exemple :
+$O(0;0)$,\\
+$A(1; 1)$, $B(2; 2)$, $C(4; 4)$,\\
+$D(-1, -1)$, $E(-2, -2)$, $F(-3, -3)$,\\
+$G(-1; 1)$, $H(-3, 3)$, $K(-4; 4)$,\\
+$L(1; -1)$, $M(2; -2)$, $N(3,4; -3,4)$.
+
+(Les calculs ne sont pas faits, mais ils sont assez simples).
+
+\includegraphics[width=10cm]{exo2.pdf}
+
+Il semble que les points soient placés sur deux droites (en pointillés).
+}
 \item
 Factoriser le membre de gauche de l'équation $(E)$. 
+\reponse{
+\[(E) \equi (x-y)(x+y) = 0 \]
+}
 \item Trouver deux équations $(E_1)$ et $(E_2)$ telles qu'un couple $(x;y)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(x;y)$ est solution de $(E_1)$ ou de $(E_2)$.
+\begin{eqnarray*}
+(x;y)\text{ est solution de }E & \equi & (x;y)\text{ vérifie } (x-y)(x+y) = 0 \\
+& \equi & (x;y)\text{ vérifie } x-y= 0 \text{ ou } x+y = 0\\
+& \equi & (x;y) \text{ est solution de }x-y = 0 \text{ ou } (x;y) \text{ est solution de }x+y = 0
+\end{eqnarray*}
+Les deux équations cherchées sont donc $(E_1)~: x-y = 0$ et $(E_2)~: x+y = 0$ (on peut avoir inversé $E_1$ et $E_2$, cela ne change pas le résultat).
+
+Remarque : la difficulté de cet exercice est plus logique que mathématique : il faut reformuler l'énoncé de manière \og logique \fg.
 \item
 Quel est l'ensemble des points dont les coordonnées $(x;y)$ vérifient l'équation $(E)$ ?
+
+\reponse{L'ensemble des points vérifiant l'équation $(E)$ est l'ensemble des points qui vérifient soit $(E_1)$, soit $(E_2)$. Comme $(E_1)$ et $(E_2)$ sont deux équations de droites. En effet 
+\[(E_1)~: x-y = 0 \equi y=x \]
+\[(E_2)~: x+y = 0 \equi y = -x\]
+L'ensemble cherché est l'ensemble des points de ces deux droites (cela correspond bien aux droites tracées en pointillés dans les questions précédentes).}
 \item
 Déterminer une équation de la "courbe" formée des deux droites $(AB)$ et $(AC)$ avec $A(1;3)$, $B(3;-1)$ et $C(-2;0)$.
+
+\reponse{Dans les questions précédentes, ont est partis d'une équation \og compliquée \fg ($x^2-y^2 = 0$), puis on l'a factorisée pour obtenir une équation \og produit nul \fg ($(x-y)(x+y) = 0$). Enfin chaque facteur du produit a donné une équation de droite ($x-y = 0$ a donné $y=x$, et $x+y = 0$ a donné $y=-x$). On peut reprendre ces étapes à l'envers : 
+
+\begin{enumerate}
+\item D'abord, trouver l'équation des deux droites.
+
+$(AB)$ : $a = \frac{3-(-1)}{1-3} = \frac{4}{-2} = -2$
+
+On a $y=-2x+b$ et $A(1; 3)$, donc
+\[3 = -2\times 1 + b \equi b = 5 \]
+\cadrem{(AB)~: y=-2x+5}
+
+$(AC)$ : $a = \frac{3-0}{1-(-2)} = 1$
+
+On a $y=x + b$ avec $A(1; 3)$ donc
+\[3 = 1 + b \equi b = 2 \]
+\cadrem{(AC)~: y=x+2}
+\item Ensuite on doit mettre ces équation sous une forme "$\ldots = 0$" : on obtient donc
+\[y=-2x+5 \equi y + 2x - 5 = 0 \qquad (E_3)\]
+\[ y=x+2 \equi y-x - 2 = 0 \qquad (E_4)\]
+\item On effectue le produit de ces équations ; ainsi un point appartient à l'une des deux droites si et seulement si 
+\[(y+2x-5)(y-x-2) = 0 \]
+\end{enumerate}
+Remarque : on pourrait ajouter une étape finale où on développerait ce produit, mais ce n'est a priori pas demandé.
+}
 \end{enumerate}
 
 
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+^"G'PRnbdD"3"/Jm+ZC&goV@s[6_[G_+Y(h%XO"1Z<G=/?CoinU7<\t-q@!)*^"bHDb@Jo\\60]\`MQ0
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 \item Compléter la définition suivante : \bareme{2}
 \begin{defn} $A$ et $B$ sont deux points du plan. La translation qui transforme $A$ en $B$ associe à tout point $M$ du plan l'unique point $P$ tel que 
 
-\vspace{5cm}
+\reponseouplace{$[AP]$ et $[BM]$ aient le même milieu.
+
+\smallskip
+
+Accepté également : $ABPM$ est un parallélogramme, éventuellement aplati (ne pas oublier le cas \og aplati \fg).}{\vspace{5cm}}
 \end{defn}
 
 \item Compléter la propriété suivante : \bareme{2}
 \begin{prop}
 Deux vecteurs $\ve{AB}$ et $\ve{CD}$ sont égaux si et seulement si 
 
-\vspace{5cm}
+\reponseouplace{$ABDC$ est un parallélogramme.}{\vspace{5cm}}
 
 \end{prop}
 
 \end{enumerate}
+\corrige
+\else
 \newpage
+\fi
 \section{Exercices de base (6)}
 
 \includegraphics[width=6cm]{exo5.png}
@@ -32,20 +39,33 @@ Deux vecteurs $\ve{AB}$ et $\ve{CD}$ sont égaux si et seulement si
 \begin{enumerate}
 \item À l'aide de la figure ci-dessus, compléter les phrases suivantes : \bareme{3,5}
 \begin{enumerate}
-  \item La translation qui transforme \version{$B$ en $A$}{$A$ en $B$} transforme \version{$C$}{$D$} en \ldots
-  \item La translation qui transforme \version{$C$ en $B$}{$B$ en $C$} transforme \version{$D$}{$A$} en \ldots
-  \item La translation qui transforme \version{$E$ en $B$}{$C$ en $F$} transforme $\version{F}{B}$ en \ldots
-  \item La translation qui transforme \version{$E$ en $D$}{$D$ en $C$} transforme \ldots \ldots en $\version{C}{D}$
-  \item Cette même translation transforme \ldots \ldots en \version{$B$}{$G$}.
-  \item La translation qui transforme \ldots \ldots en \ldots \ldots transforme \version{$B$ en $G$}{$A$ en $F$}.
+  \item La translation qui transforme \version{$B$ en $A$}{$A$ en $B$} transforme \version{$C$}{$D$} en \reponseouplace{
+\version{$D$}{$C$}
+}{\ldots}
+  \item La translation qui transforme \version{$C$ en $B$}{$B$ en $C$} transforme \version{$D$}{$A$} en \reponseouplace{
+\version{$A$}{$D$}}
+{\ldots}
+  \item La translation qui transforme \version{$E$ en $B$}{$C$ en $F$} transforme $\version{F}{B}$ en \reponseouplace{
+\version{$C$}{$E$}}
+{\ldots}
+  \item La translation qui transforme \version{$E$ en $D$}{$D$ en $C$} transforme \reponseouplace{\version{$D$}{$E$}
+}{\ldots \ldots} en $\version{C}{D}$
+  \item Cette même translation transforme \reponseouplace{\version{$A$}{$F$}
+}{\ldots \ldots} en \version{$B$}{$G$}.
+  \item La translation qui transforme \reponseouplace{\version{$A$ en $F$}{$B$ en $G$}
+}{\ldots \ldots en \ldots \ldots} transforme \version{$B$ en $G$}{$A$ en $F$}.
 \end{enumerate}
 \item Même consigne \bareme{1}
   \begin{enumerate}
-    \item La translation de vecteur $\ve{GF}$ transforme $\version{C}{B}$ en \ldots
-    \item La translation de vecteur $\ve{AD}$ transforme \ldots \ldots en $\version{C}{G}$.
+    \item La translation de vecteur $\ve{GF}$ transforme $\version{C}{B}$ en \reponseouplace{\version{$D$}{$A$}
+}{\ldots}
+    \item La translation de vecteur $\ve{AD}$ transforme \reponseouplace{\version{$B$}{$D$}
+}{\ldots \ldots} en $\version{C}{G}$.
   \end{enumerate}
   \item Citer trois vecteurs (différents) égaux au vecteur $\ve{\version{FE}{CD}}$. \bareme{1,5}
-\vspace{1cm}
+\reponseouplace{
+\version{$\ve{DA}$, $\ve{CB}$, $\ve{GD}$}{$\ve{GF}$, $\ve{BA}$, $\ve{DE}$}
+}{\vspace{1cm}}
 \end{enumerate}
 
 
index 90257f4622b3646b10e13e1eebbfe3c1ce5baaca..5291e578d0d1a0bf1c8bc22ff53e37b79c93ec19 100644 (file)
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