DST 1ere
authorDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Tue, 17 May 2016 21:56:03 +0000 (23:56 +0200)
committerDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Tue, 17 May 2016 21:56:03 +0000 (23:56 +0200)
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index 17a468d..15b56d6 100644 (file)
@@ -66,12 +66,15 @@ L'équation de la tangente est :
   \item $h(x) = 3\sqrt{x} - \frac{26}{x} + x^{30}$ \bareme{0,75 et 0,25 pour l'ensemble} \reponse{Dérivable sur $]0; +\infty[$ (à cause de la racine carrée et de la fraction).
 \[ h'(x) = 3 \times \frac{1}{2 \sqrt x} - 26 \times{-1}{x^2} + 30x^{29} = \frac{3}{2\sqrt x} + \frac{26}{x^2} + 30x^{29}
 \]}
-  \item $i(x) = (2x+5)(-x + 1)$ \bareme{1,5} \reponse{ Dérivable sur $\R$. $i$ est de la forme $u\tims v$ avec :
+  \item $i(x) = (2x+5)(-x + 1)$ \bareme{1,5} \reponse{ Dérivable sur $\R$. $i$ est de la forme $u\times v$ avec :
 \[ u(x) = 2x+5 \qquad u'(x) = 2\]
 \[ v(x) = -x + 1 \qquad v'(x) = -1\]
 \[i'(x) =  u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 2\times(-x+1) + (2x+5)\times (-1) = -2x + 2 -2x - 5 = -4x - 3\]}
   \item $j(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ \bareme{1,25 et 0,25 pour l'ensemble} \reponse{
-valeurs interdites : telles que $x^2-1 = 0$
+valeurs interdites : telles que $x^2-1 = 0$. $\Delta = 4$, $x_1 = 1~; x_2 = -1$. Donc l'ensemble de dérivation est $]-\infty; -1[ \cup ]-1; 1[ \cup ]1; +\infty[$.
+
+$j$ est de la forme $\frac{1}{v}$, avec $v(x) = x^2-1$, donc $v'(x) = 2x$.
+\[ j'(x) = \frac{-v'(x)}{v(x)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}\]
 }
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
@@ -84,19 +87,55 @@ C(x) = -0,01x^2 + 12x + 1400
 
 \begin{enumerate}
 \item Calculer le coût de prodution de $100$ tasses, et de $101$ tasses. \bareme{1}
+\reponse{On a
+\[ C(100) = -0,01\times 100^2 + 12 \times 100 + 1400 = \ueur{2500}\]
+\[ C(101) = -0,01\times 101^2 + 12 \times 101 + 1400 = \ueur{2509,99}\]
+}
 \item Calculer le coût marginal au rang $100$, c'est-à-dire le coût de fabrication de la 101\ieme{} tasse sachant qu'on en a déjà fabriqué $100$. \bareme{0,5}
+\reponse{Le coût marginal au rang $100$ est $C(101) - C(100) = \cadrem{\ueur{9,99}} $.}
 \item Calculer la dérivée de la fonction $C$.\bareme{0,5}
+\reponse{\[C'(x) = -0,01 \times 2x + 12 = -0,02x + 12 \]}
 \item En déduire $C'(100)$. Que remarque-t-on ? \bareme{0,5}
+\reponse{$C'(100) = 10$
+
+Le coût marginal est très proche du nombre dérivé de la fonction en $100$.}
 \item Calculer le coût marginal au rang $300$, ainsi que $C'(300)$. Que remarque-t-on ?\bareme{1,5}
+\reponse{
+\[C(301) - C(300) = -0,01\times 301^2 + 12 \times 301 + 1400 - (-0,01\times 300^2 + 12 \times 300 + 1400) = \ueur{5,99} \]
+\[C'(300) = -0,02 \times 300 + 12 = 6 \]
+Là encore, le coût marginal au rang 300, plus faible que celui du rang 100, est très proche de la dérivée en 300.}
 \end{enumerate}
 
 \section{Pourcentages (4)}
 Les affirmations suivantes sont erronées. Les corriger (justifier par un calcul) :
 \begin{enumerate}
   \item \og Notre production a augmenté de \upc{10} l'année dernière et de \upc{15} cette année, ce qui nous fait une augmentation de \upc{25} au total \fg.
+\reponse{Des augmentations successives de \upc{10} et \upc{15} donnent un coefficient multiplicateur :
+\[\left( 1 + \frac{10}{100} \right) \left( 1 + \frac{15}{100} \right) = 1,265\]
+\[ (1,265 -1 ) \times 100 = 26,5\]
+La phrase correcte est : \og \ldots ce qui nous ferait une augmentation de \upc{26,5} \fg.}
   \item \og Nous avons perdu \upc{12} de nos ventes en janvier, puis nous avons regagné \upc{12} le mois suivant. Nous sommes revenus au chiffre d'avant. \fg
+\[\left( 1 - \frac{12}{100} \right) \left( 1 + \frac{12}{100} \right) = 0,9856\]
+\[ (0,9856 -1) \times 100 = -1,44\]
+La phrase correcte est : \og Nous avons perdu au total \upc{1,44} \fg.
+
+Autre réponse : corriger non pas le \og Nous sommes revenus au chiffre d'avant \fg, mais le chiffre \og nous avons regagné \upc{x} \fg de manière à ce que la phrase suivante soit vraie (pourcentage réciproque) : le bon pourcentage est \upc{13,6}.
   \item \og Cet ordinateur coûte \ueur{500} euros après remise de \upc{10}. Cela veut dire qu'avant remise, il coûtait \upc{10} de plus : \ueur{550}. \fg
+\reponse{Si $x$ est le prix de l'ordinateur avant remise, 
+\[x \times \left( 1 - \frac{10}{100} \right) = 500 \equi x = \frac{500}{0,9} \simeq \ueur{555, 56} \]
+Le pourcentage correspondant se calcule :
+\[ \left( 1 - \frac{10}{100} \right) \left( 1 + \frac{t}{100} \right) = 1 \equi t = \left( \frac{1}{0,9} -1\right) \times 100 \simeq 11,1\]
+La phrase est : \og \ldots avant remise, il coûtait \upc{11,1} de plus : \ueur{555,56}\fg.
+
+Note : un seul de ces résultats (le pourcentage ou le prix initial) au lieu des deux valait 0,75 point.
+}
   \item \og Si ma population de lapins nains croît de \upc{5} chaque mois, alors au bout de 20 mois j'ai doublé ma population de lapins. \fg
+\reponse{On utilise les évolutions successives : au bout de 20 mois, le facteur multiplicatif est :
+\[\left( 1 + \frac{5}{100} \right) \left( 1 + \frac{5}{100} \right) \ldots = \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^20 \simeq 2,65 \]
+La phrase est \og au bout de 20 mois, la population sera multipliée par $2,65$ (ou augmentée de \upc{165}).
+
+Autre réponse : chercher au bout de combien de mois la population est doublée : au bout de 14 ou 15 mois (selon si on veut s'arrêter juste avant "2" ou juste après).
+} 
 \end{enumerate}
 
 \section{Statistiques (4)}
@@ -112,13 +151,28 @@ Nombre de biens à vendre & 4 & 6 & 12 & 10 & 8 & 1 \\
 
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer la moyenne et l'écart-type du prix des appartements (en milliers d'euros). Pas de justification demandée (le calcul peut être fait à la calculatrice). \bareme{1}
-\reponse{307k, 587k}
-\item Déterminer la médiane de la série (justifier). \bareme{1} \bareme{200k}
+\reponse{On trouve la moyenne égale à $307$~k\eur, et l'écart-type égal à $587$~k\eur.}
+\item Déterminer la médiane de la série (justifier). \bareme{1} \reponse{L'effectif total est de $4+6+12+10+8+1 = 41$. On a $\frac{41}{2} = 20,5$, donc la médiane est la 21\ieme{} valeur : 200 milliers d'euros.
+}
 \item Quel chiffre, entre la médiane et la moyenne, représente le mieux la série ? Justifier. \bareme{1}
+\reponse{Avec un écart-type aussi grand, la moyenne n'est pas très significative. On voit même qu'elle est supérieure à toutes les valeurs de la série, sauf une. En fait la moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes (le 4000 dans le tableau), donc s'il y a trop de valeurs extrêmes, la moyenne ne représente pas grand chose. La médiane, en revanche est plus proche de la majorité des valeurs du tableau, c'est celle-ci qui représente mieux la série.
+}
 \item L'agence décide de retirer de sa vitrine la maison à 4 millions d'euros (la dernière du tableau). Sans calcul, dire comment vont évoluer la moyenne et la médiane, et justifier.\bareme{1}
+\reponse{La moyenne va baisser significativement, car elle est sensible aux valeurs extrêmes. La moyenne va peu ou pas bouger, par contre, car la médiane n'est pas influencée par les valeurs extrêmes, une seule valeur ne change pas (ou peu) la médiane.}
 \end{enumerate}
 
 \section*{Bonus}
 L'archère Alissa a 9 chances sur 10 de toucher sa cible. Combien de tirs indépendants doit-elle effectuer pour avoir au moins une chance sur deux d'en rater (au moins) un ?
 
+
+\reponse{L'événement contraire de A : \og rater au moins un tir \fg est $\bar{A}$ : \og réussir tous les tirs \fg.
+
+Si Alissa fait $n$ tirs, alors $P(\bar{A}) = 0,9^n$.
+Donc \[ P(A) = 1-0,9^n \]
+
+On cherche à avoir $P(A) \leq 0,5$ donc $1-0,9^n \leq 0,5 \equi 0,9^n \leq  0,5$.
+En essayant des valeurs, la première valeur de $n$ qui fonctionne est $n=7$.
+
+Remarque : vous n'avez pas (encore) l'outil pour résoudre cette (in)équation autrement que par \og essais \fg.
+}
 \end{document}
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