corrigé, et header
authorDenise sur Titasmo <denise.maurice@normalesup.org>
Sat, 13 Feb 2016 08:56:26 +0000 (09:56 +0100)
committerDenise sur Titasmo <denise.maurice@normalesup.org>
Sat, 13 Feb 2016 08:56:26 +0000 (09:56 +0100)
1ere/DST_5/dst5.tex
1ere/DST_5/dst5_corrige.pdf
1ere/DST_5/dst5_enonce.pdf
header.tex

index 6f386708116516b914725577af735bd9ca73aead..7883d22b3ec8450c02a3b826b8075e05223d3059 100644 (file)
@@ -27,12 +27,38 @@ Fonctions :
 Une usine fabrique des produits qui peuvent avoir $0$, $1$, $2$ ou $3$ défauts. Un produit donné a $10~\%$ de chances d'avoir un défaut, $4~\%$ d'en avoir deux  et $1~\%$ d'en avoir trois. $x$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de défauts d'un produit tiré au hasard.
 \begin{enumerate}
 \item Donner la loi de probabilité de $X$ \bareme{1}
+\reponse{
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+\hline
+$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
+\hline
+$P(X = x_i)$ & 0,85 & 0,1 & 0,04 & 0,01 \\
+\hline
+\end{tabular}
+
+En effet, $P(X = 0) = 1- P(X=1) - P(X=2) - P(X=3) = 1-0,1 - 0,04 - 0,01 = 0,85$
+}
 \item Calculer $P(X\geq 2)$, et $P(X<1)$.\bareme{0,5 chaque}
+\reponse{
+\[
+P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0,04 + 0,01 = 0,05 
+\]
+\[
+P(X<1) = P(X=0) = 0,85
+\]
+}
 \item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. \bareme{1}
+\reponse{
+\[
+\Esp(X) = 0,85 \times 0 + 0,1 \times 1 + 0,04 \times 2 + 0,01 \times 3 = 0,21 \text{ défaut}
+\]}
 \item L'entreprise qui vend ces produits décide de proposer une garantie sur les défauts de fabrication : elle prend en charge les réparations, ce qui lui coûte $50 \eur$ par défaut à corriger.
 \begin{enumerate}
        \item Quel est le coût moyen, pour l'entreprise, de ces réparations ? \bareme{1}
+\reponse{Comme un produit a en moyenne $0,21$ défaut, le coût de la garantie est de $50 \times 0,21 = 10,50 \eur$ en moyenne.}
        \item Quel doit être le prix de la garantie pour que l'entreprise réalise un bénéfice moyen de 30 \eur sur cette garantie ? \bareme{0,5}
+\reponse{Pour réaliser un bénéfice moyen de $30 \eur$ sur la garantie, il faut donc fixer le prix de la garantie à $10,50 + 30 = 40,50 \eur$.}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
@@ -41,9 +67,34 @@ En 2015, environ $91~\%$ des élèves de terminale ES ont eu leur bac. On suppos
 \begin{enumerate}
 \item Dessiner un arbre pondéré représentant la situation. On pourra noter $B$ l'événement \og l'élève va avoir son bac \fg et $\bar{B}$ l'événement contraire. \bareme{1}
 \item Quelle est la probabilité que les 3 élèves ratent leur bac ? \bareme{0,5}
+\reponse{\[
+P(\bar{B}\bar{B}\bar{B}) = 0,09 \times 0,09 \times 0,09 = 7,29 \times 10^{-4}
+\]}
 \item Quelle est la probabilité qu'exactement un élève sur les trois rate son bac ? \bareme{0,5}
+\reponse{
+\begin{eqnarray*}
+P(\text{\og un élève sur 3 rate son bac \fg}) & = & P(\{B\bar{B}\bar{B}; \bar{B}B\bar{B}; \bar{B}\bar{B}B \}) \\
+& = & 0,09 \times 0,91^2 + 0,91 \times 0,09 \times 0,91 + 0,91^2 \times 0,09 \\
+& = & \simeq 0,223
+\end{eqnarray*}
+}
 \item Quelle est la probabilité qu'au moins un élève sur les trois rate son bac ? \bareme{1}
-\item On reprend l'énoncé avec une classe de $26$ élèves. Quelle est la probabilité qu'au moins un élève rate son bac ? \bareme{1}
+\reponse{
+\[P(\text{\og Au moins un élève rate son bac \fg}) = 1 - P(\text{\og Tous les élèves réussissent\fg}) \]
+car l'événement contraire de \og au moins un élève rate \fg est \og tous les élèves réussissent \fg.
+\[P(\text{\og Au moins un élève rate son bac \fg}) = 1 - P(BBB) = 1-0,91^3 \simeq 0,246
+ \]
+
+Remarque : on peut vérifier la cohérence des résultats : la probabilité qu'au moins un élève rate est un peu plus élevée que la probabilité qu'\emph{exactement} un élève rate. C'est plutôt normal, puisque dans la première, l'événement comprend les cas \og exactement un élève rate \fg, \og exactement deux élèves ratent \fg et \og les trois élèves ratent \fg. On pouvait s'attendre à trouver un nombre légèrement plus élevé.
+}
+\item On reprend l'énoncé avec une classe de $26$ élèves. Quelle est la probabilité qu'au moins un élève rate son bac ? \bareme{1} \reponse{
+\begin{eqnarray*}
+P(\text{\og Au moins un élève rate son bac \fg}) &  = & 1 - P(\text{\og Tous les élèves réussissent\fg}) \\
+& = & 1-P(BBBB \ldots B) \\
+& = & 1-0,91^26 \\
+& \simeq & 0,914
+\end{eqnarray*}
+Il y a donc $91,4 \%$ de chances qu'un élève au moins rate son bac.}
 %\item On suppose cette fois qu'on prend $n$ élèves, avec $n \geq 1$. Exprimer la probabilité qu'au moins un élève sur les $n$ rate son bac. \bareme{1}
 %\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, à partir de quel $n$ cette probabilité dépasse $0,95$. \bareme{1}
 \end{enumerate}
@@ -62,10 +113,35 @@ En 2015, environ $91~\%$ des élèves de terminale ES ont eu leur bac. On suppos
 \[h(x) = \frac{1}{3}x^2 + 2 \]
 \[i(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x \]
 \end{minipage}
+\reponse{\begin{itemize}
+\item $f$ correspond à la courbe en pointillés \og tirets-points \fg, car c'est la seule à être tournée vers le bas, et $f$ est la seule fonction à avoir un coefficient $a<0$.
+\item $h$ correspond à la courbe en trait plein, car on y lit $c=2$ et c'est la seule dans ce cas (hormis $f$ qui est déjà attribuée).
+\item $g$ correspond à la courbe en pointillés \og longs \fg, car on voit son sommet à abscisse $-1$, et pour $h$ on peut calculer facilement $\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = 0$. Pour $i$ on a $\alpha = \frac{- (-3/2)}{2\times (1/2)} = \frac{3}{2}$, donc on est sûr que ce n'est pas $i$.
+\item $i$ correspond à la courbe en pontillés \og fins \fg, car c'est la seule qui reste (et on peut confirmer la valeur de $\alpha$).
 
+\end{itemize}}
 \item Résoudre l'inéquation suivante : 
 \[ (-12x^2 +x +1)(x-1) \geq 0 \]
 Vous pourrez vous aider d'un tableau de signes et de la règle du signe du produit. \bareme{2, dont 1,5 pour le tableau de signe}
+\reponse{
+Racines de $-12x^2 + x + 1$~:
+\[
+\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 49 >0
+\]
+\[x_1 = \frac{-1 + 7}{-24} = -\frac{1}{4} \qquad x_2 = \frac{-1-7}{-24} = \frac{1}{3} \]
+
+On obtient le tableau de signe suivant :
+
+\variations
+x & \mI & & -1/4 & & 1/3 & & 1 & & \pI \\
+-12x^2 +x +1 & \ga- & \z & + & \z & - & \l & \dr- \\
+x-1 & \ga- & \l& - & \l & - & \z & \dr+ \\
+(-12x^2 +x +1)(x-1) & \ga+ & \z & - & \z & + & \z & \dr- \\
+\fin
+
+On a donc \cadrem{\Sol = ]-\infty, -1/4] \cup [1/3; 1]}
+
+}
 \item Si on augmente de $3$ cm la longueur du côté d'un carré, son aire augmente de 30 \%. Quelle est cette longueur ? \bareme{1,5}
 \end{enumerate}
 
index 1c867838301a22498e31f13a01093b8618c45fac..40051e3ddf44f3172ef14b51f5ccb96580ffa826 100644 (file)
Binary files a/1ere/DST_5/dst5_corrige.pdf and b/1ere/DST_5/dst5_corrige.pdf differ
index 7ceb38a1742dd48892f4dd2fa982cb41d023b290..bc261a8fa31bf9d2b440ac80e7107bbca447b9a9 100644 (file)
Binary files a/1ere/DST_5/dst5_enonce.pdf and b/1ere/DST_5/dst5_enonce.pdf differ
index 6098419a9a28397c573b8f9c2ea15b96aab0c2b8..8455dc96691b2314300a4c52d8bcff6ca3204a83 100644 (file)
@@ -66,6 +66,7 @@
 \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
 \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
 \newcommand{\Cpx}{{\mathbb{C}}}
+\newcommand{\Esp}{{\mathbb{E}}}
 
 %partie réelle d'un complexe
 \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}