DMs corrigés
authorDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Mon, 11 Jan 2016 20:51:50 +0000 (21:51 +0100)
committerDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Mon, 11 Jan 2016 20:51:50 +0000 (21:51 +0100)
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index b2d86b7f86a52fb32c6b7003d83953a714286ef4..d2c57325c6a085fae8c7bf98fc9ac9df81ffba2b 100644 (file)
 \item On cherche deux nombres $x$ et $y$ dont la somme fait 5 et le produit fait 6. On peut trouver, dans ce cas précis, le résultat de tête, mais le but est de trouver la méthode générale.
 \begin{enumerate}[a)]
        \item Écrire le système d'équations que vérifient $x$ et $y$.
+\reponse{\[
+\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5 \\
+xy = 6
+  \end{array}
+\right.
+\]}
        \item On suppose qu'aucun de ces nombres n'est nul. En exprimant $y$ en fonction de $x$, et en remplaçant dans la seconde, montrer que $x$ vérifie l'équation~:
 \begin{equation}
 \label{eq1}
 x^2 -5x + 6 = 0
 \end{equation}
+\reponse{Dans la seconde équation, on obtient~:
+\[
+xy = 6 \equi y = \frac{6}{x}
+\]
+On obtient, en remplaçant dans la première équation~:
+\begin{eqnarray*}
+& & x + y = 5 \\
+& \equi & x + \frac{6}{x} = 5 \\
+& \equi & x^2 + 6 = 5x \text{ (on peut multiplier les deux membres de l'équation par $x$)} \\
+& \equi x^2 -5x + 6 = 0
+\end{eqnarray*}
+
+}
        \item Résoudre cette équation, et en déduire les deux nombres en question.
+\reponse{
+\[\Delta = (-5)^2 - 4\times 6 \times 1 = 1 \]
+\[ x_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \]
+$x$ est égal à $3$ ou $32$. 
+
+Dans le premier cas on trouve $y = \frac{6}{3} = 2$, dans le second cas $y = \frac{6}{2} = 3$.
+
+Les deux nombres sont donc $2$ et $3$.
+
+On peut d'ailleurs vérifier que $2 + 3 = 5$ et $2 \times 3 = 6$ (c'est normal qu'on ait trouvé les deux nombres en $x_1$ et $x_2$ puisqu'ils sont échangeables !).
+}
 \end{enumerate}
 %\item Faire de même pour deux nombres dont le produit est $-12$ et la somme $-1$.
 \item Si on cherche deux nombres dont la somme est un certain nombre $S$ et le produit un certain nombre $P$, montrer que l'équation vérifiée par un de ces nombres est
@@ -30,7 +60,37 @@ x^2 -5x + 6 = 0
 x^2 -Sx + P = 0
 \end{equation}
 (inutile de la résoudre !)
+\reponse{
+De la même façon, on pose le système que vérifient $x$ et $y$~:
+\[
+\left\{ \begin{array}{l} x + y = S \\
+xy = P
+  \end{array}
+\right.
+\]
+On a donc avec la seconde équation $y= \frac{P}{x}$, et si on suppose que $x$ est non-nul~:
+\begin{eqnarray*}
+& & x + y = S \\
+& \equi & x + \frac{P}{x} = S \\
+& \equi & x^2 + P = Sx \\
+& \equi x^2 -Sx + P = 0
+\end{eqnarray*}
+
+}
 \item En utilisant l'équation~\eqref{eq2}, chercher deux nombres dont le produit est $-12$ et la somme $-1$, puis deux nombres dont le produit est $-24$ et la somme $2$.
+\reponse{
+Premier cas : $S = -1$ et $P=-12$, ce qui donne comme équation~:
+\[ x^2 +x - 12 = 0\]
+\[\Delta = 1^2 - 4\times (-12) = 49 \]
+\[x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \qquad \frac{-1 -7}{2} = -4\]
+Les deux nombres sont dont $3$ et $-4$.
+
+Deuxième cas~: $S = 2$ et $P = -24$.
+\[ x^2 -2x - 24 = 0 \]
+\[\Delta = (-2)^2 - 4 \times (-24) = 100 \]
+\[ x_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6 \qquad x_2 = \frac{2-10}{2} = -4 \]
+Les deux nombres sont $6$ et $-4$.
+}
 \item Dans l'autre sens~: cette méthode peut être utilisée à l'envers~: par exemple résoudre l'équation $x^2 -3x +2 = 0$ revient à trouver deux nombres dont la somme est $3$ et le produit $2$, ce qui peut se faire de tête. ($2$ et $1$).
 
 \bigskip
@@ -42,7 +102,24 @@ Résoudre alors de tête les équations~: $x^2 -6x + 5 = 0$ et $x^2 -x -6 = 0$
 
 On augmente de 2cm la longueur du côté d'un carré, et son aire est alors augmentée de 15~\%. Trouver le côté de ce carré.
 
-
 \emph{En cas de blocage~: poser $x$ (par exemple) le côté du cube. Puis exprimer alors sous forme d'équation l'énoncé...}
+
+\reponse{Soit $x$ le côté du cube. Son aire est $x^2$.
+
+Le cube augmenté a pour côté $x+2$, donc son aire est $(x+2)^2 = x^2 + 4x+4$.
+
+Or on sait que cette nouvelle aire est 15 \% plus grande que l'aire d'origine, ce qui se traduit par~:
+\[
+x^2 + 4x + 4 = 1,15 \times x^2
+\]
+\[ \equi -0,15x^2 + 4x + 4 = 0\]
+\[
+\Delta = 4^2 - 4 \times 4 \times (-0,15) = 18,4
+\]
+\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{18,4}}{2\times(-0,15)} \simeq -0,97 cm \qquad x_2 = \frac{-4 - \sqrt{18,4}}{2\times(-0,15)} \simeq 27,63 cm\]
+
+Le côté du cube est donc d'environ 27,6 cm.}
+
+
 \end{document}
 
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index 9de0284a5f496be05030bf88864be6fac5446706..44a608fa86d026de3c761b9d28c8237df4a77073 100644 (file)
 
 Mongi est curieux de la preuve de cette formule.  On se place dans un repère orthonormé d'origine $A$où $(AB)$ est l'axe des abscisses.
 \begin{enumerate}
- \item Quelles sont les coordonnées de $A$ et de $B$?
+ \item Quelles sont les coordonnées de $A$ et de $B$? \reponse{On a $A(0;0)$ et $B(c, 0)$.}
  \item Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$?
+\reponse{\[x_I = \frac{0+c}{2} = \frac{c}{2} \qquad y_I = \frac{0+0}{2} = 0 \]
+Donc \cadrem{I\left(\frac{c}{2}; 0 \right) }.}
  \item On note $(x_C;y_C)$, les coordonnées du point $C$.
- Vérifier que : $$L^2=IC^2=x_C^2+y_C^2-cx_C+\dfrac{c^2}{4}$$
+ Vérifier que : $$L^2=IC^2=x_C^2+y_C^2-cx_C+\dfrac{c^2}{4}$$ \reponse{
+On utilise la formule des distances~: 
+\begin{eqnarray*}
+L^2 & = & IC^2 \\
+  & = & \left(\sqrt{\left(\frac{c}{2} - x_C\right)^2 + (0-y_C)^2} \right)^2 \\
+ & = & \left(\frac{c}{2} - x_C\right)^2 + y_C^2 \\
+& = & \frac{c^2}{4} - 2\times \frac{c}{2} \times x_C + x_C^2 + y_C^2 \\
+& = & x_C^2 + y_C^2 - c \times x_C + \frac{c^2}{4}
+\end{eqnarray*}
+
+}
  \item Calculer  $a^2$ et $b^2$ en fonction de $x_C$, $y_C$ et de $c$. Donner les résultats sous forme développée.
+\reponse{
+\begin{eqnarray*}
+a^2 & = & BC^2  \\
+& = & (c-x_C)^2 + (0-y_C)^2 \\
+& = & c^2 -2cx_C + x_C^2 + y_C^2
+\end{eqnarray*}
+
+\begin{eqnarray*}
+b^2 & = & AC^2 \\
+& = & (0-x_C)^2 + (0- y_C)^2 \\
+& = & x_C^2 + y_C^2
+\end{eqnarray*}
+
+}
  \item \'Etablir la formule du livre de Mongi. 
 
 \emph{Indication~: il existe plusieurs façons de s'y prendre, mais on peut par exemple partir du membre de droite de la formule ($\dfrac{1}{4}\left( 2a^2+2b^2 - c^2\right)$), et remplacer $a^2$ et $b^2$ par leurs expressions trouvées à la question précédente pour arriver enfin à l'expression de $IC^2$ établie à la question 3.}
+
+\reponse{En partant du membre de droite de la formule~:
+\begin{eqnarray*}
+\frac{1}{4} \left(2a^2 + 2b^2 - c^2 \right) & = & \frac{1}{4} \left( 2\times(c^2 -2cx_C + x_C^2 + y_C^2 \right) 
++ 2\times\left(x_C^2 + y_C^2) - c^2 \right) \\
+& = & \frac{1}{4} \left(2c^2 -4cx_C + 2x_C^2 + 2y_C^2 + 2x_C^2 + 2y_C^2 -c^2 \right) \\
+& = & \frac{1}{4} \left(c^2 -4cx_C + 4x_C^2 + 4y_C^2 \right) \\
+& = & \frac{c^2}{4} -cx_C + x_C^2 + y_C^2 \\
+& = & L^2
+\end{eqnarray*}
+
+On a bien obtenu la formule du livre.
+}
 \end{enumerate}
 
 
index c50f6af1cf07fbab826920f3be0c4c33415b8d3b..84af821459b6dcd4d983e03013ab583e2007683e 100644 (file)
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