dst 4 corrigé
authorDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Mon, 4 Jan 2016 22:29:24 +0000 (23:29 +0100)
committerDenise sur Lya <sekhmet@lya>
Mon, 4 Jan 2016 22:29:24 +0000 (23:29 +0100)
1-chasse_a_la_bete.pdf [deleted file]
1ere/DST_4/capture_calc.png [new file with mode: 0644]
1ere/DST_4/dst4.tex
1ere/DST_4/dst4_corrige.pdf
1ere/DST_4/dst4_enonce.pdf
Enoncés de problèmes ouverts-commentes.docx [deleted file]
GRAPH85emulator.exe [new file with mode: 0644]

diff --git a/1-chasse_a_la_bete.pdf b/1-chasse_a_la_bete.pdf
deleted file mode 100644 (file)
index c72aa28..0000000
Binary files a/1-chasse_a_la_bete.pdf and /dev/null differ
diff --git a/1ere/DST_4/capture_calc.png b/1ere/DST_4/capture_calc.png
new file mode 100644 (file)
index 0000000..961f666
Binary files /dev/null and b/1ere/DST_4/capture_calc.png differ
index 4848f17be5f34cc180e69aa6ebf912bcc5fcaffa..cae7acb38aed718ffe344c39a1abc2c7f658f0d5 100644 (file)
@@ -70,11 +70,34 @@ Deux racines~: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{144}}{-2} = -7 \qquad x_2 = \frac{2 - \sqr
 x & \mI & & -7 & & 5 & & \pI \\
 -x^2 -2x + 35 & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
 \fin
+
+On a donc \cadrem{\Sol = ]-\infty; -7[ \cup ] 5; +\infty [}
 }
   \item $x^2 + 1 \geq 0$
+\reponse{\[\Delta = 0^2 - 4*1 = -4\]
+Pas de racine~:
+
+\variations
+x & \mI & & \pI \\
+x^2 + 1 & & + & \\
+\fin
+
+On a donc \cadrem{\Sol = \R}}
 \end{enumerate}
 
 \item La somme des carrés de trois nombres positifs consécutifs est égale à $194$. Quels sont ces nombres~? \bareme{1}
+\reponse{On appelle $x$ le premier de ces trois nombres. Il vérifie~:
+\begin{eqnarray*} 
+& & x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 194 \\
+& \equi & x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 - 194 = 0 \\
+& \equi & 3x^2 + 6x -189 = 0
+\end{eqnarray*}
+\[\Delta = 6^2 - 4*(-189)*3 = 2304 \]
+Deux solutions~: 
+$x_1 = 7 \qquad \qquad x_2 = -9$
+
+On cherche des nombres positifs (d'après l'énoncé), donc $x=7$~: les trois nombres cherchés sont donc $7$, $8$ et $9$.
+}
 
 
 \end{enumerate}
@@ -96,9 +119,24 @@ Nombre de machines & 5 & 8 & 10 & 7 & 4 & 2 & 1 \\
 \end{tabular}
 
 \begin{enumerate}
-\item Calculer la médiane du nombre de pannes, et l'écart interquartile (avec justification). \bareme{1,5} \reponse{$2$ et $2$}
-\item Calculer le nombre moyen de pannes, ainsi que l'écart-type. \bareme{1,5} \reponse{$\xb = 2,24$ et $\sigma = 1,67$}
-\item Le responsable décide de changer la machine qui avait eu 8 pannes, en en mettant une neuve à la place (qui, théoriquement, n'aura pas de panne l'année prochaine). Sans faire le calcul, indiquer comment va évoluer moyenne, écart-type, médiane et écart interquartile l'année suivante, si les autres machines restent dans le même état. \bareme{1}
+\item Calculer la médiane du nombre de pannes, et l'écart interquartile (avec justification). \bareme{1,5} 
+\reponse{
+L'effectif total est de $37$. $37/2 = 18,5$, la médiane est la $19$\ieme valeur~: \cadrem{Me = 2}.
+
+$37/4 = 9,25$, donc $Q_1$ est la $10$\ieme valeur~: $Q_1 = 1$.
+
+$37*3/4 = 27,75$, donc $Q_3$ est la $28$\ieme valeur~: $Q_3 = 3$. 
+
+L'écart interquartile est donc $Q_3 - Q_1 = 3 - 1 = \cadrem{2}$.
+
+%$2$ et $2$
+
+}
+\item Calculer le nombre moyen de pannes, ainsi que l'écart-type. \bareme{1,5} \reponse{
+On obtient $\xb \simeq 2,24$ et $\sigma \simeq 1,67$.}
+\item Le responsable décide de changer la machine qui avait eu 8 pannes, en en mettant une neuve à la place (qui, théoriquement, n'aura pas de panne l'année prochaine). Sans faire le calcul, indiquer comment va évoluer moyenne, écart-type, médiane et écart interquartile l'année suivante, si les autres machines restent dans le même état. \bareme{1} \reponse{
+On change juste une valeur extrême, donc la médiane et l'écart interquartile ne devraient pas (ou peu) changer, car ces indicateurs ne sont pas très sensibles aux valeurs extrêmes. Par contre, la moyenne va baisser et l'écart-type aussi (car les valeurs seront moins dispersées).
+}
 \end{enumerate}
 
 %\section{Statistiques, logique}
@@ -128,22 +166,90 @@ Nombre de machines & 5 & 8 & 10 & 7 & 4 & 2 & 1 \\
 Le patron de l'entreprise de papier toilette ToutDoux fait le point depuis la fin de l'année 2012. Fin 2013, il a constaté une augmentation de 10 \% des ventes par rapport à fin 2012. Fin 2014, une augmentation de 6 \%.
 \begin{enumerate}
 \item Calculer le taux d'évolution global entre fin 2012 et fin 2014.\bareme{1}
+\reponse{Le coefficient multiplicateur est~:
+\[
+\left( 1 + \frac{6}{100} \right) \left( 1 + \frac{10}{100} \right) = 1,166
+\]
+\[
+(1,166 -1)\times 100 = 16,6
+\]
+Le pourcentage d'évolution global est de $16,6 \%$.
+}
 \item L'année 2015, l'entreprise a subit une rude concurrence, et les ventes ont alors chuté de 16 \%. Le patron, philosophe, s'est dit alors \og Ce n'est pas grave, nous sommes juste revenus aux ventes de début 2013 \fg. A-t-il raison~? Justifier par un calcul approprié. \bareme{1,5}
-\reponse{perte de $2,06 \%$ en vrai.}
-\item Le patron a alors eu une idée révolutionnaire, celle de vendre du papier toilette imprimé avec des petits chatons roses. Et fin 2015, il a constaté que le taux d'évolution total des ventes (depuis fin 2012 donc) était de $12,6~\%$. Quel a été le taux d'évolution entre fin 2014 et fin 2015 pour obtenir ce résultat~? \bareme{1,5}
+\reponse{Le taux d'évolution global ne se calcule pas en faisant simplement la somme des pourcentages. Le calcul à faire est~:
+\[
+\left( 1 + \frac{6}{100} \right) \left( 1 + \frac{10}{100} \right) \left( 1 - \frac{16}{100} \right) = 0,97944
+\]
+\[
+(0,97944 -1)\times 100 = -2,056 \simeq -2,06
+\]
+En réalité, l'entreprise a vu ses ventes chuter de $2,06 \%$ au total.
+
+Remarque~: on pouvait aussi partir du pourcentage d'évolution globale calculé à la question précédente.}
+\item Le patron a alors eu une idée révolutionnaire, celle de vendre du papier toilette imprimé avec des petits chatons roses. Et fin 2015, il a constaté que le taux d'évolution total des ventes (depuis fin 2012 donc) était de $12,6~\%$. Quel a été le taux d'évolution entre fin 2014 et fin 2015 pour obtenir ce résultat~? \bareme{1,5} \reponse{On cherche un taux d'évolution $t$ tel que~:
+
+\begin{eqnarray*}
+&& \left( 1 + \frac{6}{100} \right) \left( 1 + \frac{10}{100} \right) \left( 1 - \frac{16}{100} \right) \left( 1 + \frac{t}{100} \right) = 1 + \frac{12,6}{100} \\
+& \equi & 0,97944 \times \left( 1 + \frac{t}{100} \right) = 1,126 \\
+& \equi & 1 + \frac{t}{100} \simeq 1,1496 \\
+& \equi & t \simeq 14,96 
+\end{eqnarray*}
+
+Les ventes ont augmenté de $14,96 \%$ entre 2014 et 2015.
+
+}
 \end{enumerate}
 
 \section{Fonctions de référence (4)}
 
 \begin{enumerate}
 \item $f$ est la fonction cube. Donner son tableau de variations et son tableau de signe. \bareme{1}
+\reponse{
+
+Tableau de variations~:
+
+\variations
+x & \mI & & \pI \\
+x^3 & \b{~} & \c & \h{~} \\
+\fin
+
+Tableau de signe~:
+\variations 
+x & \mI & & 0 & & \pI \\
+x^3 & \ga- & \z & \dr+ \\
+\fin
+}
 \item $g$ est la fonction définie par $g(x) = 5x$. Quel est son sens de variation~? \bareme{0,5}
-\item En utilisant la représentation graphique de ces deux fonctions avec la calculatrice, résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ (arrondi au dixième). \bareme{1}
+\reponse{$g$ est croissante sur $\R$ (c'est une fonction affine avec un c{\oe}fficient directeur positif).}
+\item En utilisant la représentation graphique de ces deux fonctions avec la calculatrice, résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ (arrondi au dixième). \bareme{1}\reponse{
+Voici un exemple d'affichage calculatrice, avec une fenêtre $Xmin = -5$, $Xmax = 5$, $Ymin = -15$, $Ymax = 15$.
+
+\includegraphics[width=4cm]{capture_calc.png}
+
+Sur le graphique, on distingue (grâce à l'outil "trace") trois points d'intersections, en $x=0$, $x \simeq -2,2$ et $x \simeq 2,2$.}
 \item Résolution algébrique~: montrer que l'équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à \bareme{0,5}
 \[
 x(x^2-5) = 0
 \]
+\reponse{
+\begin{eqnarray*}
+& & f(x) = g(x) \\
+& \equi & x^3 = 5x \\
+& \equi & x^3 - 5x = 0 \\
+& \equi & x (x^2 -5) = 0 
+\end{eqnarray*}
+}
 \item Résoudre cette équation de manière exacte.\bareme{1}
+\reponse{
+\begin{eqnarray*}
+&  & x (x^2 -5) = 0 \\
+& \equi & x = 0 \text{ ou } x^2 - 5 = 0
+\end{eqnarray*}
+On peut résoudre la seconde équation~: $\Delta = 0^2 - 4 \times (-5) = 20$. Donc deux solutions~:
+$ x_1 = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt 5 \qquad x_2 = - \frac{\sqrt{20}}{2} = - \sqrt 5$.
+
+Au final, \cadrem{\Sol = \{0; -\sqrt 5; \sqrt 5 \}}
+}
 \end{enumerate}
 
 \section{Bonus~: taux mystère}
@@ -152,5 +258,12 @@ x(x^2-5) = 0
 
 Trouver le taux d'évolution sur la première année.
 
+\reponse{On note $t$ celui de la première année. Il y a donc un taux de $3t$ \% la seconde année. Le taux d'évolution global étant de $50$ \%, $t$ vérifie~:
+\[
+\left( 1 + \frac{t}{100} \right) \left( 1 + \frac{3t}{100} \right) = 1 + \frac{50}{100} 
+\]
+
+Et il n'y a plus qu'à résoudre...}
+
 
 \end{document}
index fb26ac09fb0245e354377ef841c08215b7233e09..f74b6201467f8d1dba8e0a7045fc43334cfb447c 100644 (file)
Binary files a/1ere/DST_4/dst4_corrige.pdf and b/1ere/DST_4/dst4_corrige.pdf differ
index ea44ff4e602ddf2fb9b41bb527fff68b4361b517..6015d39e1d92aba42fe63978dfa4bc9e18081d09 100644 (file)
Binary files a/1ere/DST_4/dst4_enonce.pdf and b/1ere/DST_4/dst4_enonce.pdf differ
diff --git a/Enoncés de problèmes ouverts-commentes.docx b/Enoncés de problèmes ouverts-commentes.docx
deleted file mode 100644 (file)
index 4f94bad..0000000
Binary files "a/Enonc\303\251s de probl\303\250mes ouverts-commentes.docx" and /dev/null differ
diff --git a/GRAPH85emulator.exe b/GRAPH85emulator.exe
new file mode 100644 (file)
index 0000000..acddf49
Binary files /dev/null and b/GRAPH85emulator.exe differ