dst corrigé
[perso/Denise/lycee/2015-2016.git] / 2nde / DST_8 / dst8.tex
index 63bd2d4a6838ed8ea6f3beb0df8363c8f020e014..20fc1d3b44724ffea33563ae57bf0d2a2c5bdcd3 100644 (file)
@@ -1,7 +1,7 @@
 \input{../../header.tex}
 
 \title{\vspace{-1.5cm}Devoir sur table numéro 8 -- classe de 2nde 6 \vspace{-1.5cm}}
-\date{\dateoucorr{27/05/2016} -- \version{A}{B}}
+\date{\dateoucorr{27/05/2016} -- Sujet \version{A}{B}}
 
 \begin{document}
 
@@ -17,6 +17,10 @@ Vecteurs
 
 \bigskip
 
+Fonctions 
+
+\bigskip
+
 Géométrie dans l'espace
 
 \bigskip
@@ -27,32 +31,149 @@ Géométrie dans l'espace
 \begin{enumerate}
 \item $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sont trois expressions dont on donne les tableaux de signe :
 
-\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
 \variations
 x & \mI & & -1 & & \pI \\
 A(x) & \ga- & \z & \dr+ \\ 
 \fin
 \end{minipage}
-\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+\variations
 x & \mI & & \frac{3}{2} & & \pI \\
 B(x) & \ga+ & \z & \dr- \\ 
 \fin
 \end{minipage}
-\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+
+%\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+\variations
 x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
-C(x) & \ga- & \z & + & \z \dr- \\ 
+C(x) & \ga- & \z & + & \z \dr- \\ 
 \fin
-\end{minipage}
+%\end{minipage}
 
 En utilisant ces tableaux de signe, dresser les tableaux de signe des expressions suivantes :
 \begin{enumerate}
-\item \version{$A(x)B(x)$}{$A(x)C(x)$} \bareme{0.75}
+\item \version{$A(x)B(x)$}{$A(x)C(x)$} \bareme{0.75} \corrigeab{
+
+\variations
+x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
+A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
+B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
+A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
+\fin
+}{
+
+\variations
+x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
+A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
+C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
+A(x)C(x) & \ga+ & \z & - & \z & + & \z & \dr+\\
+\fin
+
+}
 \item \version{$B(x)C(x)$}{$A(x)B(x)$} \bareme{0.75}
-\item $\frac{\version{B(x)}{A(x)}}{C(x)}$ \bareme{1}
+\corrigeab{
+
+\variations
+x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
+B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
+C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
+B(x)C(x) & \ga- & \z & + & \z & - & \z & \dr+ \\
+\fin
+}{
+
+\variations
+x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
+A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
+B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
+A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
+\fin
+}
+\item $\frac{\version{A(x)}{B(x)}}{C(x)}$ \bareme{1}
+\corrigeab{
+
+\variations
+x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
+A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
+C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
+\frac{A(x)}{C(x)} & \ga+ & \z & - & \bb & + & \bb & \dr+\\
+\fin
+}{
+
+\variations
+x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
+B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
+C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
+\frac{B(x)}{C(x)} & \ga- & \z & + & \bb & - & \bb & \dr+ \\
+\fin
+}
+
 \end{enumerate}
 
 \item $f$ est la fonction définie par $f(x) = \version{(x-1)(-2x-1)}{(x-2)(-3x + 9)}$. Résoudre l'inéquation $f(x) <0$.\bareme{1,5}
-\item $g$ est la fonction définie par $g(x) = \version{\frac{2x-7}{-5x + 10}}{\frac{-5x+10}{2x-1}}$. Résoudre l'inéquation $g(x) \geq 0$, après avoir déterminé la ou les valeurs interdites. \bareme{1,5}
+\reponse{
+
+Pour $\version{x-1}{x-2}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{1} = 1 }{ \frac{-(-2))}{1} = 2 }$.
+
+Pour $\version{-2x-1}{-3x+9}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{-2} = -\frac{1}{2} }{ \frac{-9}{-3} = 3 }$.
+
+\version{
+\variations
+x & \mI & & -1/2 & & 1 & & \pI \\
+x-1 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
+-2x-1 & \ga+ & \z & - & \l & \dr- \\
+f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
+\fin
+
+\cadrem{\Sol = \left]-\infty; -\frac{1}{2} \right[ \cup ] 1; +\infty[}
+}
+{
+\variations
+x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
+x-2 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
+-3x + 9 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
+f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
+\fin
+
+\cadrem{\Sol = ]-\infty; 2[ \cup ] 3; +\infty[ }
+
+}
+}
+\item $g$ est la fonction définie par $g(x) = \version{\frac{2x-7}{-5x + 10}}{\frac{-5x+10}{2x-1}}$. Résoudre l'inéquation $g(x) \geq 0$ et déterminer la ou les valeurs interdites. \bareme{1,5}
+\corrigeab{
+
+Pour $2x-7$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-7)}{2} = \frac{7}{2}$.
+
+Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
+
+\variations
+x & \mI & & 2 & & 7/2 & & \pI \\
+2x-7 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
+-5x+10 & \ga+ & \z & - & \z & \dr- \\
+g(x) & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
+\fin
+
+Valeur interdite : $x=2$
+
+\cadrem{\Sol = \left] 2 ; \frac{7}{2} \right]}
+}{
+
+Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
+
+Pour $2x-1$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$
+
+\variations
+x & \mI & & 1/2 & & 2 & & \pI \\
+-5x + 10 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
+2x-1 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
+g(x)  & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
+\fin
+
+Valeur interdite : $x=1/2$
+
+\cadrem{\Sol = \left] \frac{1}{2} ; 2 \right]}
+}
+
 
 \end{enumerate}
 
@@ -60,34 +181,114 @@ En utilisant ces tableaux de signe, dresser les tableaux de signe des expression
 \begin{enumerate}
 \item Vecteurs et coordonnées :
 \begin{enumerate}
-\item Dans un repère, on a $\vu(3; -2)$ et $\vv(5; 2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $2\vu_1 - \vu_2$.\bareme{0,5} % 1; -6 
-\item Montrer que ce vecteur est colinéaire au vecteur $\vw \left( -\frac{1}{2}; 3 \right)$.\bareme{0,5}
-%\item Calculer les coordonnées d'un vecteur $\w'$ tel que $\vu + \vv + \vw' = \ve{0}$. \bareme{1} 
-%\item $A(2; 1)$. Le point $B$ est tel que $\ve{AB} = \vu$. Trouver les coordonnées de $B$. \bareme{0,5} %(5; 1)
-%\item On a $C(-1; -1)$ et $D(-4; 1)$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme. \bareme{1}
+\item Dans un repère, on a $\vu(3; -2)$ et $\vv(5; 2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $2\vu - \vv$.\bareme{0,5} % 1; -6 
+\reponse{
+
+\[2\vu - \vv (2 \times 3 - 5; 2 \times (-2) - 2) = (1; -6) \]}
+\item Montrer que ce vecteur est colinéaire au vecteur $\vw \left( \version{-\frac{1}{3} ; 2}{-\frac{1}{2}; 3} \right)$.\bareme{0,5}
+\reponse{On calcule le produit en croix :
+
+\version{
+\[1 \times 2 = 2 \]
+\[- \frac{1}{3} \times (-6) = 2 \]
+}{
+\[ 1 \times 3 = 3 \]
+\[ -\frac{1}{2} \times (-6) = 3 \]
+}
+Les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs sont colinéaires.
+}
 \end{enumerate}
 \item Relation de Chasles : simplifier au maximum les sommes et produits suivants : \bareme{0,5 chq}
 \begin{enumerate}
-       \item $\ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC} = $
-       \item $\ve{MT} - 2\ve{MG} + 3\ve{QM} = $
-       \item 3($\ve{FK} - \ve{SP}) + 2(2\ve{KP} - \ve{FS}) = $
+       \item \version{$\ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC}$}{ $\ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD}$ } \corrigeab
+{\[ \ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC} = \ve{CH} + \ve{AC} = \ve{AC} + \ve{CH} = \ve{AH}\]}
+{\[ \ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD} = \ve{DH} + \ve{AD} = \ve{AD} + \ve{DH} = \ve{AH} \]}
+       \item \version{ $\ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) $}{ $ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} )$ } \corrigeab{
+\[ \ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) = \ve{MT} -2(\ve{MG} + \ve{GT}) = \ve{MT} -2\ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM} \]}
+{\[ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} ) = \ve{MT} - 2(\ve{MA} + \ve{AT}) = \ve{MT} -2 \ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM}  \]}
+\end{enumerate}
+\item On a \version{$P(-1; 1)$, $A(2; 2)$, $R(6; 0)$, $L(3; -1)$}{ $P(-2; 2)$, $A(1; 3)$, $R(5; 1)$, $L(2; 0)$ }
+\begin{enumerate}
+  \item Montrer que $PARL$ est un parallélogramme. \bareme{1}\reponse{
+\[\ve{PA} \version{ (2-(-1); 2-1) = (3; 1) }{ (1-(-2); 3-2) = (3; 1) } \]
+\[\ve{LR} \version{ (6-3 ; 0-(-1)) ) }{ (5-2 ; 1-0) } = (3; 1) \]
+On a $\ve{PA} = \ve{LR}$ donc $PARL$ est un parallélogramme.
+
+Remarque : on peut aussi vérifier $\ve{PL} = \ve{AR}$ par exemple.
+}
+  \item \version{$U(1, -3)$}{$U(0; -2)$}. Trouver les coordonnées de $M$ telles que $PLUM$ soit un parallélogramme. \bareme{1}
+\reponse{
+\[ \ve{PL} = \version{ (3-(-1); -1-1) }{ (2-(-2); 0-2) } = (4; -2)\]
+\[ \ve{MU} = \version{ (1 - x_M ; -3 -y_M) }{ (0-x_M ; -2 - y_M) } \]
+$PLUM$ est un parallélogramme $\equi \ve{PL} = \ve{MU}$, ce qui donne :
+\[ \version{1-x_M}{0-x_M} = 4 \equi \version{x_M = -3}{x_M = -4}\]
+\[ \version{-3-y_M }{-2-y_M} = -2 \equi \version{y_M = -1}{y_M = 0} \]
+
+Donc \cadrem{M(\version{-3; -1}{-4; 0})}.
+}
+  \item Que dire du quadrilatère $MARU$ ? Justifier. \bareme{1}
+\reponse{$PARL$ est un parallélogramme, donc $\ve{AR} = \ve{PL}$.
+On a aussi $\ve{PL} = \ve{MU}$ (puisque $PLUM$ est un parallélogramme, mais on l'a déjà dit dans la question précédente).
+On a donc $\ve{AR} = \ve{MU}$, ce qui signifie que $ARUM$, ou $MARU$ est un parallélogramme.}
+  \item Les points $L$, $U$ et $R$ sont-ils alignés ? Justifier. \bareme{1}
+\reponse{On calcule les coordonnées des vecteurs :
+\[\ve{LU} (\version{1-3 ; -3-(-1)}{ (0-2 ; -2-0) }) = (-2; -2) \]
+\[ \ve{UR} (\version{ 6-1; 0-(-3) }{ (5-1 ; 1-(-2)) }) = (5; 3)\]}
+On calcule le produit en croix :
+\[ -2 \times 3 = -6\]
+\[ -2 \times 5 = -10\]
+Les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $\ve{LU}$ et $\ve{UR}$ ne sont pas colinéaires : $L, U, R$ ne sont pas alignés.
+
+  \item Trouver les coordonnées d'un point $S$, de même abscisse que $L$, tel que $(LU) // (RS)$ \bareme{1}
+\reponse{On cherche $S(\version{3}{2}; a)$, de telle sorte que les vecteurs $\ve{LU}$ et $\ve{RS}$ soient colinéaires.
+\[\ve{LU} (-2; 2) \]
+\[\ve{RS} (\version{3 - 6}{2 - 5}; \version{a-0}{a-1}) = (-3; \version{a}{a-1}) \]
+Avec le produit en croix, on obtient :
+\[\version{-2 \times a = -3 \times 2 \equi a = \frac{-6}{-2} = 3}
+{ -2 \times (a-1) = -3 \times 2 \equi -2a = -6 -2 \equi a = \frac{-8}{-2} = 4} 
+\]
+D'où \cadrem{S(\version{3; 3}{2; 4})}
+}
+
+\end{enumerate}
+
+%\item $ABCD$ est un parallélogramme, et $EFCD$ est un parallélogramme. En utilisant des égalités de vecteurs, montrer que $ABFE$ est un parallélogramme. \bareme{1,5} % AB = DC, EF = DC. Donc AB = EF donc ABFE paraléllo.
+
 \end{enumerate}
-\item On a $A$, $B$, $C$. Trouver les coordonnées d'un point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. \bareme{1}
-\item Les points $A(-1; -1)$, $B(1; -2)$ et $C(-4; 0,5) $ sont-ils alignés ? Justifier \bareme{1} %2; -1 et -3; +3/2
-\item $E(4; x)$. Trouver $x$ tel que $(AC) // (CE)$. \bareme{1}
 
-\item $ABCD$ est un parallélogramme, et $EFCD$ est un parallélogramme. En utilisant des égalités de vecteurs, montrer que $ABFE$ est un parallélogramme. \bareme{1,5} % AB = DC, EF = DC. Donc AB = EF donc ABFE paraléllo.
+\section{Fonctions (3,5)}
+$f$ est une fonction dont on donne le tableau de variations :
+
+\begin{minipage}{9cm}
+\variations
+\version{x & -2 & & 3 & & 4 & & 7 \\}
+{x & -4 & & 1 & & 2 & & 4 \\}
+f(x) & \h{4} & \d & \b{-2} & \c & \h{0} & \d & \b{-1} \\
+\fin
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{8cm}\includegraphics[width=8cm]{fond_graphe.pdf}\end{minipage}
+
+\begin{enumerate}
+\item Peut-on dire que $f$ est décroissante sur \version{$[-2; 7]$}{$[-4; 4]$} ? Justifier brièvement. \bareme{0.5}
+\item Quel est le maximum de $f$ sur son ensemble de définition, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
+\item Quel est le minimum de $f$ sur $\left[-1; \frac{\version{7}{3}}{2} \right]$, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
+\item On apprend que $f(0) = 0$. Étudier le signe de $f$ (sous forme de tableau ou avec des phrases). \bareme{1}
+\item Dessiner ci-dessus un graphique possible pour $f$. \bareme{1}
+
+
+\end{enumerate}
 
-\end{itemize}
 
-\section{Géométrie}
-\begin{minipage}{6cm}\includegraphics[width=6cm]{cubex.pdf}\end{minipage}
-\begin{minipage}{10cm}
-$ABCDEFGH$ est un cube de côté \ucm{\version{5}{4}}. On place les points $A'$, $C'$ et $F'$ sur les arêtes $[BA]$, $[BC]$ et $[BF]$, de telle sorte que $[BA'] = [BC'] = [BF'] = \ucm{x}$ (voir la figure). On \og coupe \fg et on enlève le petit tétraèdre $BA'C'F'$, et on s'intéresse à l'\souligne{aire} de la figure restante, qu'on notera $A(x)$.
+\section{Géométrie dans l'espace (4)}
+\begin{minipage}{4.5cm}\includegraphics[width=4cm]{cubex.pdf}\end{minipage}
+\begin{minipage}{12cm}
+$ABCDEFGH$ est un cube de côté \ucm{\version{5}{4}}. On place les points $A'$, $C'$ et $F'$ sur les arêtes $[BA]$, $[BC]$ et $[BF]$, de telle sorte que $[BA'] = [BC'] = [BF'] = \ucm{x}$ (voir la figure). On \og coupe \fg et on enlève le petit tétraèdre $BA'C'F'$, et on s'intéresse à l'\souligne{aire} de la figure restante ($AA'C'CDF'EFGH$), qu'on notera $A(x)$.
 \end{minipage}
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}
 \item Dans quel intervalle peut varier $x$ ? \bareme{0,5}
-\item Calculer l'aire lorsque $x=0$, et $x=\version{5}{4}$. Aide : vous pouvez utiliser (sans avoir besoin de la démontrer), la propriété suivante : l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $c^2 \sqrt{3}{4}$. \bareme{1,5}
+\item Calculer l'aire lorsque $x=0$, et $x=\version{5}{4}$. 
+
+\emph{Aide : vous pouvez utiliser la propriété suivante : l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $ \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$.} \bareme{1,5}
 \reponse{
 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois triangles rectangles isocèles, plus le triangle $A'C'F'$.
 
@@ -96,26 +297,40 @@ L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
 L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = \frac{b \times h}{2} = \frac{\version{5}{4}^2}{2} = \]
 
 L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C' \frac{\sqrt 3}{4}\]
-Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pytja
+Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore
 }
 \item Montrer que 
-\[ A(x) = \]
-(vous pouvez encore utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral)
+\[ A(x) = \version{150}{96} - \frac{3x^2}{2} + \frac{x^2\sqrt 3}{2}\]
+(vous pouvez encore utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral) \bareme{1,5}
 \reponse{
 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois carrés \og coupés \fg (un triangle rectangle isocèle en moins), plus le triangle $A'C'F'$.
 
 L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
 
-L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = \version{5}{4}^2 - \frac{b \times h}{2} = \version{5}{4}^2  - \frac{x^2}{2} \]
+L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{b \times h}{2} = 3 \version{5}{4}^2  - 3 \frac{x^2}{2} \]
 
-L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C' \frac{\sqrt 3}{4}\]
-Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pytja
+L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C'^2 \frac{\sqrt 3}{4}\]
+Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, $A'C'^2 = A'B^2 + C'B^2 = 2x^2$. D'où $A'C' = x \sqrt{2}$
+Donc \[ A_3 = 2x^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = x^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \]
+
+D'où \[ A(x) = 6 \version{5}{4}^2 - \frac{x^2}{2} (3 - \sqrt 3)\]
 
 }
-\item 
-\end{itemize}
+\item À l'aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de $A$ sur son ensemble de définition. \bareme{0,5}
+\end{enumerate}
+
+
+\section*{Bonus}
+%\emph{Dans cette question, une réponse sans un minimum de justification ne vaudra pas de bonus ! Par contre, une réponse argumentée, même fausse, ou un raisonnement partiel pourra en valoir...}
+
+
+Vous êtes face à deux coffres. Chacun peut contenir un trésor ou un piège mortel (mais il se peut très bien que les deux coffres contiennent un trésor, ou que les deux coffres contiennent un piège). Les inscriptions sur les coffres sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
 
+Le premier coffre a pour inscription~: «~Il y a un piège ici, ou un trésor dans l'autre coffre~».
 
+Le second coffre a pour inscription~: «~Il y a un trésor dans l'autre coffre~».
 
+\smallskip
 
+Faut-il ouvrir un coffre (lequel) ? Les deux ? Aucun ?
 \end{document}