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[perso/Denise/lycee/2015-2016.git] / 2nde / chapitre1_fonctions / ch1_fonctions.tex
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2
3 \title{\vspace{-1cm}Chapitre 1 - Généralités sur les fonctions\vspace{-1.5cm}}
4 \date{}
5 \begin{document}
6 \maketitle
7
8 \section{Intervalles de $\R$}
9 \subsection{Définition}
10 L'ensemble des points d'une droite graduée est appelé l'ensemble des nombres réels, noté $\R$.
11
12 Remarque~: on connaît d'autres ensembles de nombres~:
13 \begin{itemize2}
14 \item Les entiers naturels : $\N$
15 \item Les entiers relatifs : $\Z$
16 \item Les rationnels, qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers (et $b \not=0$)~: $\Q$
17 \end{itemize2}
18 \vspace{1cm}
19
20 [dessin patates]
21
22 \vspace{1cm}
23
24 Certaines parties de $\R$ sont appelés \emph{intervalles}.
25
26 On considère deux nombres réels $a$ et $b$, avec $a<b$.
27
28 \begin{tabular}{|p{3cm}|p{3cm}|p{7cm}|}
29 \hline
30 Ensemble des réels $x$ tels que~: & Intervalle & Représentation \\
31 \hline
32 $x < b$ & $] -\infty, b[$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
33 \hline
34 $x \leq b$ & $] -\infty, b]$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
35 \hline
36 $a < x $ & $]a, +\infty [$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
37 \hline
38 $a < x < b$ & $] a, b[$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
39 \hline
40 $a \leq x \leq b$ & $[ a, b]$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
41 \hline
42 $a < x \leq b$ & $] a, b]$& \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
43 \hline
44 \end{tabular}
45
46 Vocabulaire~:\\
47 \begin{itemize2}
48 \item $[a,b]$ est appelé un intervalle \emph{fermé}, $]a,b[$ est appelé un intervalle \emph{ouvert}. $[a,b[$ est un intervalle \emph{fermé en $a$} et \emph{ouvert en $b$}.
49
50 \item $a < x \leq b$ s'écrit $x\in ]a,b]$, et se dit «~$x$ appartient à l'intervalle ouvert en $a$, fermé en $b$~».
51 \end{itemize2}
52
53 Remarques~:
54 \begin{itemize2}
55 \item On met toujours un crochet ouvert pour $+\infty$ et $-\infty$.
56 \item L'ensemble de tous les nombres réels $\R$ peut s'écrire $]-\infty; +\infty[$.
57 \end{itemize2}
58
59 \begin{ex}
60 L'intervalle $[3,4[$~: $x\in [3, 4[$ équivaut à $3 \leq x < 4$.
61
62 [représentation]
63
64 \begin{eqnarray*}
65 3 \in [3; 4[\\
66 1 \not\in [3; 4[ \\
67 4 \not\in [3; 4[ \\
68 3,99 \in [3;4[ \\
69 \pi \in [3;4[
70 \end{eqnarray*}
71 \end{ex}
72
73
74 \subsection{Union et intersection}
75 \begin{defn}
76 Soient $E_1$ et $E_2$ deux ensembles de nombres. L'\emph{union} de ces ensembles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $E_1$ \emph{ou} à $E_2$.\\
77 On écrit cet ensemble $E_1 \cup E_2$~:
78 $x \in E_1 \cup E_2 \Longleftrightarrow x \in E_1 \text{ ou } x\in E_2$
79 \end{defn}
80
81 ! Attention~! Le «~ou~» des mathématiques est différent du «~ou~» du français~! \\
82 En mathématiques, $A$ ou $B$ signifie $A$, $B$, ou \emph{les deux}.
83
84
85 \begin{defn}
86 Soient $E_1$ et $E_2$ deux ensembles de nombres. L'\emph{intersection} de ces ensembles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $E_1$ \emph{et} à $E_2$.\\
87 On écrit cet ensemble $E_1 \cap E_2$~:
88 $x \in E_1 \cap E_2 \Longleftrightarrow x \in E_1 \text{ et } x\in E_2$
89 \end{defn}
90
91 Exemple~:
92 $[3; 5[ \cup [4 ; 8] = [3 ; 8]$\\
93
94 $[3; 5[ \cap [4 ; 8] = [4 ; 5[$\\
95
96 dessin
97
98 Remarque~: l'ensemble vide (qui ne contient aucun nombre) s'écrit $\emptyset$.
99 Par exemple, $[0;1] \cap [5;7] = \emptyset$ car il n'existe aucun nombre qui soit à la fois dans $[0;1]$ et dans $[5;7]$.
100
101 \section{Fonction}
102 \subsection{Définition}
103
104 \begin{defn}
105 Une $f$ sur une partie $D$ de $\R$ est un procédé qui associe à tout nombre $x$ de $D$, un nombre et un seul
106 appelé \emph{image} du nombre $x$. $D$ est appelé \emph{ensemble de définition} de $f$.
107 \end{defn}
108
109 Remarque~: l'ensemble de définition est souvent un intervalle.
110
111 Vocabulaire~:
112 \begin{itemize2}
113 \item L'image de $x$ par $f$ s'écrit $f(x)$ et se dit «~$f$ de $x$~».
114 \item Si $f(a) = b$, on dit que $a$ est un \emph{antécédent} de $b$ par $f$.
115 \item On note aussi $f\ : x \mapsto f(x)$, qui se dit «~$f$ qui à $x$ associe $f$ de $x$~».
116 \end{itemize2}
117
118 On peut définir $f$ par une formule, un graphique, un tableau, un algorithme, \ldots
119
120 Exemples~:
121
122 Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty [$ par $f(x) = 3x^2 +7$.\\
123 L'image de $1$ par $f$ est $10$~: $f(1) = 3\times 1^2 + 7 = 10$.
124
125 Soit $g$ la fonction définie par le tableau suivant~:
126 \[
127 \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
128 \hline
129 x & -1 & 0 & 1 & 4 \\
130 \hline
131 g(x) & 4 & 1,5 & 4 & 0 \\
132 \hline
133 \end{array}
134 \]
135 L'image de $0$ par $g$ est $1,2$~: $g(0) = 1,2$. Les antécédents de $4$ par $g$ sont $-1$ et $1$. $3$ n'a pas d'antécédent par $g$.
136
137 Soit $h$ définie sur $[-4;7]$ par le graphique suivant~:
138
139 \includegraphics[width=7cm]{support/graphe_h.pdf}
140
141 On lit $h(-2) = 5$, et $1$ a deux antécédents par $h$~: $5$ et environ $-1,2$.
142
143 Soit $i$ définie par l'algorithme suivant~:
144 \begin{itemize2}
145 \item Choisir un nombre
146 \item lui ajouter 4
147 \item le multiplier par lui-même
148 \item soustraire le nombre de départ
149 \end{itemize2}
150 L'image de $5$ par $i$ est~: $(5+4)^2 - 5 = 76$.
151
152
153 \subsection{Représentation graphique d'une fonction}
154
155 \begin{defn}
156 La \emph{représentation graphique} d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x; f(x))$, obtenus en donnant à $x$ toutes les valeurs de l'ensemble de définition.
157 \end{defn}
158
159 Autrement dit, un point $A(x; y)$ appartient à la courbe représentative de la fonction si, et seulement si $y=f(x)$.
160
161 Exemple~: Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^2 -1$.
162 Le point $A(-1; 1)$ est sur la courbe car $f(1) = 2\times (-1)^2 -1 = 1$.
163 Le point $B(3; 4)$ n'est pas sur la courbe car $f(3) = 2\times 3^2 -1 = 17 \not=4$.
164
165 \section{Résolution graphique}
166
167 \begin{defn}
168 Résoudre une équation (ou une inéquation), c'est donner l'ensemble de \emph{toutes} les valeurs de la variable pour lesquelles l'égalité (ou l'inégalité) est vraie.
169 \end{defn}
170
171 \subsection{Comparer une fonction à une constante}
172
173 Soit $f$ une fonction, et $k$ un réel.
174 \begin{itemize2}
175 \item Résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$ revient à déterminer les abscisses de tous les points dont l'ordonnée est égale à $k$. Ces abscisses sont les solutions de l'équation.
176 \item Résoudre graphiquement une inéquation
177 \end{itemize2}
178
179 \end{document}