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\title{\vspace{-1cm}Chapitre 1 - Généralités sur les fonctions\vspace{-1.5cm}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\section{Intervalles de $\R$}
\subsection{Définition}
L'ensemble des points d'une droite graduée est appelé l'ensemble des nombres réels, noté $\R$. 

Remarque~: on connaît d'autres ensembles de nombres~: 
\begin{itemize2}
\item Les entiers naturels : $\N$
\item Les entiers relatifs : $\Z$
\item Les rationnels, qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers (et $b \not=0$)~: $\Q$
\end{itemize2}
\vspace{1cm}

[dessin patates]

\vspace{1cm}

Certaines parties de $\R$ sont appelés \emph{intervalles}.

On considère deux nombres réels $a$ et $b$, avec $a<b$.

\begin{tabular}{|p{3cm}|p{3cm}|p{7cm}|}
\hline
Ensemble des réels $x$ tels que~: & Intervalle & Représentation \\
\hline
$x < b$ & $] -\infty, b[$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
\hline
$x \leq b$ & $] -\infty, b]$  & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
\hline
$a < x $ &  $]a, +\infty [$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
\hline
$a < x < b$ & $] a, b[$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
\hline
$a \leq x \leq b$ & $[ a, b]$ & \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
\hline
$a < x \leq b$  & $] a, b]$& \includegraphics[width=7cm]{support/dte_graduee.pdf}\\
\hline
\end{tabular}

Vocabulaire~:\\
\begin{itemize2}
\item $[a,b]$ est appelé un intervalle \emph{fermé}, $]a,b[$ est appelé un intervalle \emph{ouvert}. $[a,b[$ est un intervalle \emph{fermé en $a$} et \emph{ouvert en $b$}.

\item $a < x \leq b$ s'écrit $x\in ]a,b]$, et se dit «~$x$ appartient à l'intervalle ouvert en $a$, fermé en $b$~».
\end{itemize2}

Remarques~: 
\begin{itemize2}
\item On met toujours un crochet ouvert pour $+\infty$ et $-\infty$.
\item L'ensemble de tous les nombres réels $\R$ peut s'écrire $]-\infty; +\infty[$.
\end{itemize2}

\begin{ex}
L'intervalle $[3,4[$~: $x\in [3, 4[$ équivaut à $3 \leq x < 4$.

[représentation]

\begin{eqnarray*}
3 \in [3; 4[\\
1 \not\in [3; 4[ \\
4 \not\in [3; 4[ \\
3,99 \in [3;4[ \\
\pi \in [3;4[
\end{eqnarray*}
\end{ex}


\subsection{Union et intersection}
\begin{defn}
        Soient $E_1$ et $E_2$ deux ensembles de nombres. L'\emph{union} de ces ensembles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $E_1$ \emph{ou} à $E_2$.\\
On écrit cet ensemble $E_1 \cup E_2$~:
$x \in E_1 \cup E_2 \Longleftrightarrow x \in E_1 \text{ ou } x\in E_2$
\end{defn}

! Attention~! Le «~ou~» des mathématiques est différent du «~ou~» du français~! \\
En mathématiques, $A$ ou $B$ signifie $A$, $B$, ou \emph{les deux}.


\begin{defn}
        Soient $E_1$ et $E_2$ deux ensembles de nombres. L'\emph{intersection} de ces ensembles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $E_1$ \emph{et} à $E_2$.\\
On écrit cet ensemble $E_1 \cap E_2$~:
$x \in E_1 \cap E_2 \Longleftrightarrow x \in E_1 \text{ et } x\in E_2$
\end{defn}

Exemple~: 
$[3; 5[ \cup [4 ; 8] = [3 ; 8]$\\ 

$[3; 5[ \cap [4 ; 8] = [4 ; 5[$\\ 

dessin

Remarque~: l'ensemble vide (qui ne contient aucun nombre) s'écrit $\emptyset$.
Par exemple, $[0;1] \cap [5;7] = \emptyset$ car il n'existe aucun nombre qui soit à la fois dans $[0;1]$ et dans $[5;7]$.

\section{Fonction}
\subsection{Définition}

\begin{defn}
Une $f$ sur une partie $D$ de $\R$ est un procédé qui associe à tout nombre $x$ de $D$, un nombre et un seul
 appelé \emph{image} du nombre $x$. $D$ est appelé \emph{ensemble de définition} de $f$.
\end{defn}

Remarque~: l'ensemble de définition est souvent un intervalle.

Vocabulaire~:
\begin{itemize2}
\item L'image de $x$ par $f$ s'écrit $f(x)$ et se dit «~$f$ de $x$~».
\item Si $f(a) = b$, on dit que $a$ est un \emph{antécédent} de $b$ par $f$. 
\item On note aussi $f\ : x \mapsto f(x)$, qui se dit «~$f$ qui à $x$ associe $f$ de $x$~».
\end{itemize2}

On peut définir $f$ par une formule, un graphique, un tableau, un algorithme, \ldots

Exemples~:

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty [$ par $f(x) = 3x^2 +7$.\\
L'image de $1$ par $f$ est $10$~: $f(1) = 3\times 1^2 + 7 = 10$.

Soit $g$ la fonction définie par le tableau suivant~:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -1 & 0 & 1 & 4 \\
\hline
g(x) & 4 & 1,5 & 4 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
L'image de $0$ par $g$ est $1,2$~: $g(0) = 1,2$. Les antécédents de $4$ par $g$ sont $-1$ et $1$. $3$ n'a pas d'antécédent par $g$.

Soit $h$ définie sur $[-4;7]$ par le graphique suivant~:

\includegraphics[width=7cm]{support/graphe_h.pdf}

On lit $h(-2) = 5$, et $1$ a deux antécédents par $h$~: $5$ et environ $-1,2$.

Soit $i$ définie par l'algorithme suivant~:
\begin{itemize2}
\item Choisir un nombre
\item lui ajouter 4
\item le multiplier par lui-même
\item soustraire le nombre de départ
\end{itemize2}
L'image de $5$ par $i$ est~: $(5+4)^2 - 5 = 76$.


\subsection{Représentation graphique d'une fonction}

\begin{defn}
La \emph{représentation graphique} d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x; f(x))$, obtenus en donnant à $x$ toutes les valeurs de l'ensemble de définition.
\end{defn}

Autrement dit, un point $A(x; y)$ appartient à la courbe représentative de la fonction si, et seulement si $y=f(x)$.

Exemple~: Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^2 -1$.
Le point $A(-1; 1)$ est sur la courbe car $f(1) = 2\times (-1)^2 -1 = 1$.
Le point $B(3; 4)$ n'est pas sur la courbe car $f(3) = 2\times 3^2 -1 = 17 \not=4$.

\section{Résolution graphique}

\begin{defn}
Résoudre une équation (ou une inéquation), c'est donner l'ensemble de \emph{toutes} les valeurs de la variable pour lesquelles l'égalité (ou l'inégalité) est vraie.
\end{defn}

\subsection{Comparer une fonction à une constante}

Soit $f$ une fonction, et $k$ un réel.
\begin{itemize2}
\item Résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$ revient à déterminer les abscisses de tous les points dont l'ordonnée est égale à $k$. Ces abscisses sont les solutions de l'équation.
\item Résoudre graphiquement une inéquation
\end{itemize2}

\end{document}