chapitre 11 activité 2nde, + calculs mentals
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4 \title{\vspace{-1cm}Chapitre 11 -- Probabilités \vspace{-1.5cm}}
5 \date{}
6
7 \begin{document}
8 \maketitle
9
10 \section{Expérience aléatoire}
11
12 \subsection{Expérience et loi de probabilité}
13 Une expérience est dite \souligne{aléatoire} lorsqu'elle a plusieurs issues
14 (ou résultats) possibles, et qu'on ne peut pas prévoir laquelle de ces issues sera réalisée.
15
16 L'ensemble des issues est appelé \dotfill
17 \smallskip
18 \lignepoint
19
20 \bigskip
21
22 Exemple~: On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
23
24 \lignepoint
25
26 \bigskip
27
28 \begin{defn}
29 Définir une \souligne{loi de probabilité} sur
30 sur $\Omega = \{x_1, \ldots , x_n \}$, c'est associer à chaque issue $x_i$ un nombre $p_i$ \emph{positif ou nul}
31 de telle sorte que \dotfill
32
33 \bigskip
34
35 Ce nombre $p_i$ est appelé \dotfill
36 \end{defn}
37
38 \bigskip
39
40 Exemple 1~: Si le dé de l'exemple précédent est équilibré, on a~:
41
42 \newcommand\bla{p{1cm}}
43
44 \begin{tabular}{|c|\bla|\bla|\bla|\bla|\bla|\bla|}
45 \hline
46 issue & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
47 \hline
48 probabilité & \vspace{1cm} & & & & & \\
49 %$\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ \\
50 \hline
51 \end{tabular}
52
53 Exemple 2~: Si le dé est pipé, on peut avoir (par exemple)~:
54
55 \begin{tabular}{|c|\bla|\bla|\bla|\bla|\bla|\bla|}
56 \hline
57 issue & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
58 \hline
59 probabilité & \vspace{1cm} & & & & & \\
60 %$\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ \\
61 \hline
62 \end{tabular}
63
64 \begin{defprop}
65 Une loi équirépartie est une loi dans laquelle \dotfill % toutes les issues ont la même probabilité d'apparition.
66
67 \smallskip
68
69 \lignepoint
70
71 Si $n$ est le nombre s'issues, on a alors \[ p = \hspace{4cm} \]
72 \end{defprop}
73
74 \subsection{Modélisation}
75
76 \emph{Modéliser} une expérience aléatoire, c'est choisir une loi de probabilité sur l'ensemble des issues qui
77 \smallskip
78 \lignepoint
79 \smallskip
80 \lignepoint
81 %représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue.
82
83 \bigskip
84
85 \begin{prop}[Loi des grands nombres]
86 Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, \dotfill
87 \smallskip
88 \lignepoint
89 %la fréquence d'apparition de chaque issue se rapproche de la probabilité d'obtenir cette valeur.
90 \end{prop}
91
92 \bigskip
93
94 Par exemple, si on répète de nombreuses fois l'expérience de lancer le dé de l'exemple 1, et qu'on compte les fréquences d'apparition de la face «~1~», \dotfill
95 \lignepoint
96
97 \section{Probabilité d'un événement}
98
99 \begin{defn}
100 Un événement $A$ est %\emph{un sous-ensemble}
101 ...\hspace{5cm}
102 (on dit aussi \emph{une partie}) de l'univers $\Omega$ des issues d'une expérience.\\ On note ...%$A \subset \Omega$.
103 \end{defn}
104 Exemple~: Si $\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$,
105
106 $A$ est l'événement «~obtenir un nombre pair~»~: $A = $...%\{ 2, 4, 6 \}$.
107
108 \paragraph{Vocabulaire}
109 \begin{itemize2}
110 \item Dire qu'une issue $a$ \emph{réalise} l'événement $A$ signifie que $a$ est un élément de $A$~: $a \in A$.\\
111 Dans l'exemple, \\$2$ ...\hspace{3cm} l'événement $A$~: ... \\
112 $3$ ...\hspace{3cm} l'événement $A$~: ...
113 \item $\emptyset$ est appelé ...%l'événement impossible
114 \hspace{3cm}
115 , aucune issue ne le réalise.
116 \item $E$ est appelé ...%l'événement certain
117 \hspace{3cm}
118 , toutes les issues le réalisent.
119 \end{itemize2}
120
121
122 \begin{defn}
123 Une loi de probabilité est définie sur un ensemble. La probabilité d'un événement $A$, notée $p(A)$, est ...\vspace{1cm}
124 %la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
125 \end{defn}
126
127 Si on reprend l'exemple 2 (le dé pipé), et $A = \{2, 4, 6\}$ («~obtenir un résultat pair~»)~:
128 %\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
129 %\hline
130 %Face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
131 %\hline
132 %Probabilité & $\frac{1}{12}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{6}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{12}$ \\
133 %\hline
134 %\end{tabular}
135
136 \[ p(A) = ...\hspace{7cm}
137 %\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{2}{3}
138 \]
139
140 \bigskip
141
142 Remarques~:
143 \begin{itemize2}
144 \item Aucun événement ne réalise l'événement impossible, donc \[p(\emptyset) = ...\]
145 \item L'événement certain est réalisé par toutes les issues de $\Omega$, donc \[p(\Omega) = ...\]
146 \item Pour tout événement $A$, $\hspace{1cm}... \leq p(A) \leq ...\hspace{1cm}$.
147 \end{itemize2}
148
149 \begin{prop}
150 Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par~:
151
152 \bigskip
153 \[
154 %p(A) = \frac{\text{nombre d'issues dans $A$}}{\text{nombre d'issues de }\Omega}
155 p(A) = \frac{\hspace{6cm}}{\text{ }}
156 \]
157 \\
158 \end{prop}
159
160 Exemple~: On reprend l'exemple 1 du dé équilibré, et $A = \{2, 4, 6\}$
161
162 \[p(A) = \hspace{7cm}
163 %\frac{3}{6} = \frac{1}{2}
164 \]
165
166 \section{Calcul de probabilités}
167
168 \subsection{Événement contraire}
169
170 \begin{defn}
171 L'événement contraire d'un événement $A$ est formé ...
172 \vspace{1cm}
173
174 On le note ...
175 %des issues qui ne réalisent pas $A$. On le note $\bar{A}$.
176 \end{defn}
177 Exemple~: Si $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, et si $A = \{ 2, 4, 6 \}$, alors
178 \[\bar{A} = ... \hspace{7cm}
179 \]%\{1, 3, 5 \}$.
180
181 \begin{prop}
182 Pour tout événement $A$, $p(A) + p(\bar{A}) = ...$
183 \end{prop}
184
185 \subsection{Intersection et réunion d'événements}
186
187 \begin{defn}
188 $A$ et $B$ sont deux événements.
189 \begin{itemize2}
190 \item L'intersection de $A$ et $B$ est l'événement, noté $A \cap B$, formé des issues qui ... \vspace{1cm}
191 %réalisent à la fois $A$ et $B$.
192 \item La réunion de $A$ et $B$ est l'événement, noté $A \cup B$, formé des issues qui ... \vspace{1cm}
193 %réalisent $A$ ou $B$, c'est-à-dire au moins l'un des deux.
194 \end{itemize2}
195 \end{defn}
196
197 Exemple~: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, A = \{2, 4, 6 \}, B = \{ 3, 6\}$.
198
199 \[A \cup B = ... \hspace{5cm}
200 %\{ 2, 3, 4, 6 \}
201 \]
202
203 \[A \cap B = ... \hspace{5cm}
204 %\{ 6 \}
205 \]
206
207 \begin{defprop}
208 Deux événements $A$ et $B$ sont dits incompatibles lorsque $A \cap B = ... \hspace{1cm}$. On a alors~:
209 \[
210 p(A \cup B) = ...\hspace{3cm}
211 %p(A) + p(B)
212 \]
213 \end{defprop}
214
215 Exemple~: $A = \{2, 4, 6 \}$, $C = ...$.
216 %\{1, 3 \}$.
217 \\
218 $A$ et $C$ sont incompatibles.
219
220 \begin{prop}
221 Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. On a l'égalité suivante~:
222 \[
223 p(A \cup B) = ...\hspace{4cm}
224 %p(A) + p(B) - p(A \cap B)
225 \]
226 \end{prop}
227
228 Exemple~: on reprend les événements $A$ et $B$ de l'exemple plus haut, avec la loi de probabilité du dé équilibré.
229 \[
230 p(A) = ...\hspace{6cm}%\frac{3}{6} = \frac{1}{2}
231 \]
232 \[
233 p(B) = ...\hspace{6cm}%\frac{2}{6} = \frac{1}{3}
234 \]
235 \[
236 p(A \cap B) = ...\hspace{6cm}%\frac{4}{6} = \frac{2}{3}
237 \]
238 \[
239 p(A \cup B) = ...\hspace{6cm}%\frac{1}{6}
240 \]
241
242 \end{document}