1 \input{../../header.tex
}
3 \title{\vspace{-
1.5cm
}Devoir sur table numéro
8 -- classe de
2nde
6 \vspace{-
1.5cm
}}
4 \date{\dateoucorr{27/
05/
2016} -- Sujet
\version{A
}{B
}}
24 Géométrie dans l'espace
29 \section{Inéquations (
5,
5)
}
32 \item $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sont trois expressions dont on donne les tableaux de signe :
34 \begin{minipage
}{0.4\textwidth}
36 x &
\mI & & -
1 & &
\pI \\
37 A(x) &
\ga- &
\z &
\dr+ \\
40 \begin{minipage
}{0.4\textwidth}
42 x &
\mI & &
\frac{3}{2} & &
\pI \\
43 B(x) &
\ga+ &
\z &
\dr- \\
47 %\begin{minipage}{0.3\textwidth}
49 x &
\mI & &
2 & &
3 & &
\pI \\
50 C(x) &
\ga- &
\z & + &
\z &
\dr- \\
54 En utilisant ces tableaux de signe, dresser les tableaux de signe des expressions suivantes :
56 \item \version{$A(x)B(x)$
}{$A(x)C(x)$
} \bareme{0.75} \corrigeab{
59 x &
\mI & & -
1 & &
3/
2 & &
\pI \\
60 A(x) &
\ga- &
\z & + &
\l &
\dr+ \\
61 B(x) &
\ga+ &
\l & + &
\z &
\dr- \\
62 A(x)B(x) &
\ga- &
\z & + &
\z & - \\
67 x &
\mI & & -
1 & &
2 & &
3 & &
\pI \\
68 A(x) &
\ga- &
\z & + &
\l & + &
\l &
\dr+ \\
69 C(x) &
\ga- &
\l & - &
\z & + &
\z &
\dr-\\
70 A(x)C(x) &
\ga+ &
\z & - &
\z & + &
\z &
\dr+\\
74 \item \version{$B(x)C(x)$
}{$A(x)B(x)$
} \bareme{0.75}
78 x &
\mI & &
3/
2 & &
2 & &
3 & &
\pI \\
79 B(x) &
\ga+ &
\z & - &
\l & - &
\l &
\dr- \\
80 C(x) &
\ga- &
\l & - &
\z & + &
\z &
\dr-\\
81 B(x)C(x) &
\ga- &
\z & + &
\z & - &
\z &
\dr+ \\
86 x &
\mI & & -
1 & &
3/
2 & &
\pI \\
87 A(x) &
\ga- &
\z & + &
\l &
\dr+ \\
88 B(x) &
\ga+ &
\l & + &
\z &
\dr- \\
89 A(x)B(x) &
\ga- &
\z & + &
\z & - \\
92 \item $
\frac{\version{A(x)
}{B(x)
}}{C(x)
}$
\bareme{1}
96 x &
\mI & & -
1 & &
2 & &
3 & &
\pI \\
97 A(x) &
\ga- &
\z & + &
\l & + &
\l &
\dr+ \\
98 C(x) &
\ga- &
\l & - &
\z & + &
\z &
\dr-\\
99 \frac{A(x)
}{C(x)
} &
\ga+ &
\z & - &
\bb & + &
\bb &
\dr+\\
104 x &
\mI & &
3/
2 & &
2 & &
3 & &
\pI \\
105 B(x) &
\ga+ &
\z & - &
\l & - &
\l &
\dr- \\
106 C(x) &
\ga- &
\l & - &
\z & + &
\z &
\dr-\\
107 \frac{B(x)
}{C(x)
} &
\ga- &
\z & + &
\bb & - &
\bb &
\dr+ \\
113 \item $f$ est la fonction définie par $f(x) =
\version{(x-
1)(-
2x-
1)
}{(x-
2)(-
3x +
9)
}$. Résoudre l'inéquation $f(x) <
0$.
\bareme{1,
5}
116 Pour $
\version{x-
1}{x-
2}$ : $
\frac{-b
}{a
} =
\version{ \frac{-(-
1)
}{1} =
1 }{ \frac{-(-
2))
}{1} =
2 }$.
118 Pour $
\version{-
2x-
1}{-
3x+
9}$ : $
\frac{-b
}{a
} =
\version{ \frac{-(-
1)
}{-
2} = -
\frac{1}{2} }{ \frac{-
9}{-
3} =
3 }$.
122 x &
\mI & & -
1/
2 & &
1 & &
\pI \\
123 x-
1 &
\ga- &
\l & - &
\z &
\dr+ \\
124 -
2x-
1 &
\ga+ &
\z & - &
\l &
\dr- \\
125 f(x) &
\ga- &
\z & + &
\z &
\dr- \\
128 \cadrem{\Sol =
\left]-
\infty; -
\frac{1}{2} \right[ \cup ] 1; +
\infty[}
132 x &
\mI & &
2 & &
3 & &
\pI \\
133 x-
2 &
\ga- &
\z & + &
\l &
\dr+ \\
134 -
3x +
9 &
\ga+ &
\l & + &
\z &
\dr- \\
135 f(x) &
\ga- &
\z & + &
\z &
\dr- \\
138 \cadrem{\Sol =
]-
\infty;
2[ \cup ] 3; +
\infty[ }
142 \item $g$ est la fonction définie par $g(x) =
\version{\frac{2x-
7}{-
5x +
10}}{\frac{-
5x+
10}{2x-
1}}$. Résoudre l'inéquation $g(x)
\geq 0$ et déterminer la ou les valeurs interdites.
\bareme{1,
5}
145 Pour $
2x-
7$ : $
\frac{-b
}{a
} =
\frac{-(-
7)
}{2} =
\frac{7}{2}$.
147 Pour $-
5x+
10$ : $
\frac{-b
}{a
} =
\frac{-
10}{-
5} =
2$
150 x &
\mI & &
2 & &
7/
2 & &
\pI \\
151 2x-
7 &
\ga- &
\l & - &
\z &
\dr+ \\
152 -
5x+
10 &
\ga+ &
\z & - &
\z &
\dr- \\
153 g(x) &
\ga- &
\bb & + &
\z &
\dr- \\
156 Valeur interdite : $x=
2$
158 \cadrem{\Sol =
\left] 2 ;
\frac{7}{2} \right]}
161 Pour $-
5x+
10$ : $
\frac{-b
}{a
} =
\frac{-
10}{-
5} =
2$
163 Pour $
2x-
1$ : $
\frac{-b
}{a
} =
\frac{-(-
1)
}{2} =
\frac{1}{2}$
166 x &
\mI & &
1/
2 & &
2 & &
\pI \\
167 -
5x +
10 &
\ga+ &
\l & + &
\z &
\dr- \\
168 2x-
1 &
\ga- &
\z & + &
\l &
\dr+ \\
169 g(x) &
\ga- &
\bb & + &
\z &
\dr- \\
172 Valeur interdite : $x=
1/
2$
174 \cadrem{\Sol =
\left] \frac{1}{2} ;
2 \right]}
180 \section{Vecteurs (
7)
}
182 \item Vecteurs et coordonnées :
184 \item Dans un repère, on a $
\vu(
3; -
2)$ et $
\vv(
5;
2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $
2\vu -
\vv$.
\bareme{0,
5} % 1; -6
187 \
[2\vu -
\vv (
2 \times 3 -
5;
2 \times (-
2) -
2) = (
1; -
6) \
]}
188 \item Montrer que ce vecteur est colinéaire au vecteur $
\vw \left(
\version{-
\frac{1}{3} ;
2}{-
\frac{1}{2};
3} \right)$.
\bareme{0,
5}
189 \reponse{On calcule le produit en croix :
193 \
[-
\frac{1}{3} \times (-
6) =
2 \
]
196 \
[ -
\frac{1}{2} \times (-
6) =
3 \
]
198 Les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs sont colinéaires.
201 \item Relation de Chasles : simplifier au maximum les sommes et produits suivants :
\bareme{0,
5 chq
}
203 \item \version{$
\ve{CH
} +
\ve{AB
} +
\ve{BC
}$
}{ $
\ve{DH
} +
\ve{AB
} +
\ve{BD
}$
} \corrigeab
204 {\
[ \ve{CH
} +
\ve{AB
} +
\ve{BC
} =
\ve{CH
} +
\ve{AC
} =
\ve{AC
} +
\ve{CH
} =
\ve{AH
}\
]}
205 {\
[ \ve{DH
} +
\ve{AB
} +
\ve{BD
} =
\ve{DH
} +
\ve{AD
} =
\ve{AD
} +
\ve{DH
} =
\ve{AH
} \
]}
206 \item \version{ $
\ve{MT
} -
2(
\ve{MG
} -
\ve{TG
}) $
}{ $
\ve{MT
} -
2(
\ve{MA
} -
\ve{TA
} )$
} \corrigeab{
207 \
[ \ve{MT
} -
2(
\ve{MG
} -
\ve{TG
}) =
\ve{MT
} -
2(
\ve{MG
} +
\ve{GT
}) =
\ve{MT
} -
2\ve{MT
} = -
\ve{MT
} =
\ve{TM
} \
]}
208 {\
[ \ve{MT
} -
2(
\ve{MA
} -
\ve{TA
} ) =
\ve{MT
} -
2(
\ve{MA
} +
\ve{AT
}) =
\ve{MT
} -
2 \ve{MT
} = -
\ve{MT
} =
\ve{TM
} \
]}
210 \item On a
\version{$P(-
1;
1)$, $A(
2;
2)$, $R(
6;
0)$, $L(
3; -
1)$
}{ $P(-
2;
2)$, $A(
1;
3)$, $R(
5;
1)$, $L(
2;
0)$
}
212 \item Montrer que $PARL$ est un parallélogramme.
\bareme{1}\reponse{
213 \
[\ve{PA
} \version{ (
2-(-
1);
2-
1) = (
3;
1)
}{ (
1-(-
2);
3-
2) = (
3;
1)
} \
]
214 \
[\ve{LR
} \version{ (
6-
3 ;
0-(-
1)) )
}{ (
5-
2 ;
1-
0)
} = (
3;
1) \
]
215 On a $
\ve{PA
} =
\ve{LR
}$ donc $PARL$ est un parallélogramme.
217 Remarque : on peut aussi vérifier $
\ve{PL
} =
\ve{AR
}$ par exemple.
219 \item \version{$U(
1, -
3)$
}{$U(
0; -
2)$
}. Trouver les coordonnées de $M$ telles que $PLUM$ soit un parallélogramme.
\bareme{1}
221 \
[ \ve{PL
} =
\version{ (
3-(-
1); -
1-
1)
}{ (
2-(-
2);
0-
2)
} = (
4; -
2)\
]
222 \
[ \ve{MU
} =
\version{ (
1 - x_M ; -
3 -y_M)
}{ (
0-x_M ; -
2 - y_M)
} \
]
223 $PLUM$ est un parallélogramme $
\equi \ve{PL
} =
\ve{MU
}$, ce qui donne :
224 \
[ \version{1-x_M
}{0-x_M
} =
4 \equi \version{x_M = -
3}{x_M = -
4}\
]
225 \
[ \version{-
3-y_M
}{-
2-y_M
} = -
2 \equi \version{y_M = -
1}{y_M =
0} \
]
227 Donc
\cadrem{M(
\version{-
3; -
1}{-
4;
0})
}.
229 \item Que dire du quadrilatère $MARU$ ? Justifier.
\bareme{1}
230 \reponse{$PARL$ est un parallélogramme, donc $
\ve{AR
} =
\ve{PL
}$.
231 On a aussi $
\ve{PL
} =
\ve{MU
}$ (puisque $PLUM$ est un parallélogramme, mais on l'a déjà dit dans la question précédente).
232 On a donc $
\ve{AR
} =
\ve{MU
}$, ce qui signifie que $ARUM$, ou $MARU$ est un parallélogramme.
}
233 \item Les points $L$, $U$ et $R$ sont-ils alignés ? Justifier.
\bareme{1}
234 \reponse{On calcule les coordonnées des vecteurs :
235 \
[\ve{LU
} (
\version{1-
3 ; -
3-(-
1)
}{ (
0-
2 ; -
2-
0)
}) = (-
2; -
2) \
]
236 \
[ \ve{UR
} (
\version{ 6-
1;
0-(-
3)
}{ (
5-
1 ;
1-(-
2))
}) = (
5;
3)\
]}
237 On calcule le produit en croix :
238 \
[ -
2 \times 3 = -
6\
]
239 \
[ -
2 \times 5 = -
10\
]
240 Les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $
\ve{LU
}$ et $
\ve{UR
}$ ne sont pas colinéaires : $L, U, R$ ne sont pas alignés.
242 \item Trouver les coordonnées d'un point $S$, de même abscisse que $L$, tel que $(LU) // (RS)$
\bareme{1}
243 \reponse{On cherche $S(
\version{3}{2}; a)$, de telle sorte que les vecteurs $
\ve{LU
}$ et $
\ve{RS
}$ soient colinéaires.
245 \
[\ve{RS
} (
\version{3 -
6}{2 -
5};
\version{a-
0}{a-
1}) = (-
3;
\version{a
}{a-
1}) \
]
246 Avec le produit en croix, on obtient :
247 \
[\version{-
2 \times a = -
3 \times 2 \equi a =
\frac{-
6}{-
2} =
3}
248 { -
2 \times (a-
1) = -
3 \times 2 \equi -
2a = -
6 -
2 \equi a =
\frac{-
8}{-
2} =
4}
250 D'où
\cadrem{S(
\version{3;
3}{2;
4})
}
255 %\item $ABCD$ est un parallélogramme, et $EFCD$ est un parallélogramme. En utilisant des égalités de vecteurs, montrer que $ABFE$ est un parallélogramme. \bareme{1,5} % AB = DC, EF = DC. Donc AB = EF donc ABFE paraléllo.
259 \section{Fonctions (
3,
5)
}
260 $f$ est une fonction dont on donne le tableau de variations :
262 \begin{minipage
}{9cm
}
264 \version{x & -
2 & &
3 & &
4 & &
7 \\
}
265 {x & -
4 & &
1 & &
2 & &
4 \\
}
266 f(x) &
\h{4} &
\d &
\b{-
2} &
\c &
\h{0} &
\d &
\b{-
1} \\
269 \begin{minipage
}{8cm
}\includegraphics[width=
8cm
]{fond_graphe.pdf
}\end{minipage
}
272 \item Peut-on dire que $f$ est décroissante sur
\version{$
[-
2;
7]$
}{$
[-
4;
4]$
} ? Justifier brièvement.
\bareme{0.5}
273 \item Quel est le maximum de $f$ sur son ensemble de définition, et où est-il atteint ?
\bareme{0.5}
274 \item Quel est le minimum de $f$ sur $
\left[-
1;
\frac{\version{7}{3}}{2} \right]$, et où est-il atteint ?
\bareme{0.5}
275 \item On apprend que $f(
0) =
0$. Étudier le signe de $f$ (sous forme de tableau ou avec des phrases).
\bareme{1}
276 \item Dessiner ci-dessus un graphique possible pour $f$.
\bareme{1}
282 \section{Géométrie dans l'espace (
4)
}
283 \begin{minipage
}{4.5cm
}\includegraphics[width=
4cm
]{cubex.pdf
}\end{minipage
}
284 \begin{minipage
}{12cm
}
285 $ABCDEFGH$ est un cube de côté
\ucm{\version{5}{4}}. On place les points $A'$, $C'$ et $F'$ sur les arêtes $
[BA
]$, $
[BC
]$ et $
[BF
]$, de telle sorte que $
[BA'
] =
[BC'
] =
[BF'
] =
\ucm{x
}$ (voir la figure). On
\og coupe
\fg et on enlève le petit tétraèdre $BA'C'F'$, et on s'intéresse à l'
\souligne{aire
} de la figure restante ($AA'C'CDF'EFGH$), qu'on notera $A(x)$.
288 \item Dans quel intervalle peut varier $x$ ?
\bareme{0,
5}
289 \item Calculer l'aire lorsque $x=
0$, et $x=
\version{5}{4}$.
291 \emph{Aide : vous pouvez utiliser la propriété suivante : l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $
\frac{c^
2\sqrt{3}}{4}$.
} \bareme{1,
5}
293 La surface de la figure est composée de
3 carrés
\og entiers
\fg, trois triangles rectangles isocèles, plus le triangle $A'C'F'$.
295 L'aire des trois carrés est égale à \
[ A_1 =
3 \times \version{5}{4}^
2\
]
297 L'aire des trois carrés coupés est égale à \
[ A_2 =
\frac{b
\times h
}{2} =
\frac{\version{5}{4}^
2}{2} = \
]
299 L'aire du triangle équilatéral est égale à \
[ A_3 = A'C'
\frac{\sqrt 3}{4}\
]
300 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore
303 \
[ A(x) =
\version{150}{96} -
\frac{3x^
2}{2} +
\frac{x^
2\sqrt 3}{2}\
]
304 (vous pouvez encore utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral)
\bareme{1,
5}
306 La surface de la figure est composée de
3 carrés
\og entiers
\fg, trois carrés
\og coupés
\fg (un triangle rectangle isocèle en moins), plus le triangle $A'C'F'$.
308 L'aire des trois carrés est égale à \
[ A_1 =
3 \times \version{5}{4}^
2\
]
310 L'aire des trois carrés coupés est égale à \
[ A_2 =
3 \version{5}{4}^
2 -
3 \frac{b
\times h
}{2} =
3 \version{5}{4}^
2 -
3 \frac{x^
2}{2} \
]
312 L'aire du triangle équilatéral est égale à \
[ A_3 = A'C'^
2 \frac{\sqrt 3}{4}\
]
313 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, $A'C'^
2 = A'B^
2 + C'B^
2 =
2x^
2$. D'où $A'C' = x
\sqrt{2}$
314 Donc \
[ A_3 =
2x^
2 \frac{\sqrt{3}}{4} = x^
2 \frac{\sqrt{3}}{2} \
]
316 D'où \
[ A(x) =
6 \version{5}{4}^
2 -
\frac{x^
2}{2} (
3 -
\sqrt 3)\
]
319 \item À l'aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de $A$ sur son ensemble de définition.
\bareme{0,
5}
324 %\emph{Dans cette question, une réponse sans un minimum de justification ne vaudra pas de bonus ! Par contre, une réponse argumentée, même fausse, ou un raisonnement partiel pourra en valoir...}
327 Vous êtes face à deux coffres. Chacun peut contenir un trésor ou un piège mortel (mais il se peut très bien que les deux coffres contiennent un trésor, ou que les deux coffres contiennent un piège). Les inscriptions sur les coffres sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
329 Le premier coffre a pour inscription~: «~Il y a un piège ici, ou un trésor dans l'autre coffre~».
331 Le second coffre a pour inscription~: «~Il y a un trésor dans l'autre coffre~».
335 Faut-il ouvrir un coffre (lequel) ? Les deux ? Aucun ?