dst corrigé
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1 \input{../../header.tex}
2
3 \title{\vspace{-1.5cm}Devoir sur table numéro 8 -- classe de 2nde 6 \vspace{-1.5cm}}
4 \date{\dateoucorr{27/05/2016} -- Sujet \version{A}{B}}
5
6 \begin{document}
7
8 \maketitle
9 \nomprenom
10 %\bigskip
11
12 \chapoDST{Inéquations
13
14 \bigskip
15
16 Vecteurs
17
18 \bigskip
19
20 Fonctions
21
22 \bigskip
23
24 Géométrie dans l'espace
25
26 \bigskip
27 }
28
29 \section{Inéquations (5,5)}
30
31 \begin{enumerate}
32 \item $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sont trois expressions dont on donne les tableaux de signe :
33
34 \begin{minipage}{0.4\textwidth}
35 \variations
36 x & \mI & & -1 & & \pI \\
37 A(x) & \ga- & \z & \dr+ \\
38 \fin
39 \end{minipage}
40 \begin{minipage}{0.4\textwidth}
41 \variations
42 x & \mI & & \frac{3}{2} & & \pI \\
43 B(x) & \ga+ & \z & \dr- \\
44 \fin
45 \end{minipage}
46
47 %\begin{minipage}{0.3\textwidth}
48 \variations
49 x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
50 C(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
51 \fin
52 %\end{minipage}
53
54 En utilisant ces tableaux de signe, dresser les tableaux de signe des expressions suivantes :
55 \begin{enumerate}
56 \item \version{$A(x)B(x)$}{$A(x)C(x)$} \bareme{0.75} \corrigeab{
57
58 \variations
59 x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
60 A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
61 B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
62 A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
63 \fin
64 }{
65
66 \variations
67 x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
68 A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
69 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
70 A(x)C(x) & \ga+ & \z & - & \z & + & \z & \dr+\\
71 \fin
72
73 }
74 \item \version{$B(x)C(x)$}{$A(x)B(x)$} \bareme{0.75}
75 \corrigeab{
76
77 \variations
78 x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
79 B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
80 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
81 B(x)C(x) & \ga- & \z & + & \z & - & \z & \dr+ \\
82 \fin
83 }{
84
85 \variations
86 x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
87 A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
88 B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
89 A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
90 \fin
91 }
92 \item $\frac{\version{A(x)}{B(x)}}{C(x)}$ \bareme{1}
93 \corrigeab{
94
95 \variations
96 x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
97 A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
98 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
99 \frac{A(x)}{C(x)} & \ga+ & \z & - & \bb & + & \bb & \dr+\\
100 \fin
101 }{
102
103 \variations
104 x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
105 B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
106 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
107 \frac{B(x)}{C(x)} & \ga- & \z & + & \bb & - & \bb & \dr+ \\
108 \fin
109 }
110
111 \end{enumerate}
112
113 \item $f$ est la fonction définie par $f(x) = \version{(x-1)(-2x-1)}{(x-2)(-3x + 9)}$. Résoudre l'inéquation $f(x) <0$.\bareme{1,5}
114 \reponse{
115
116 Pour $\version{x-1}{x-2}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{1} = 1 }{ \frac{-(-2))}{1} = 2 }$.
117
118 Pour $\version{-2x-1}{-3x+9}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{-2} = -\frac{1}{2} }{ \frac{-9}{-3} = 3 }$.
119
120 \version{
121 \variations
122 x & \mI & & -1/2 & & 1 & & \pI \\
123 x-1 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
124 -2x-1 & \ga+ & \z & - & \l & \dr- \\
125 f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
126 \fin
127
128 \cadrem{\Sol = \left]-\infty; -\frac{1}{2} \right[ \cup ] 1; +\infty[}
129 }
130 {
131 \variations
132 x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
133 x-2 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
134 -3x + 9 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
135 f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
136 \fin
137
138 \cadrem{\Sol = ]-\infty; 2[ \cup ] 3; +\infty[ }
139
140 }
141 }
142 \item $g$ est la fonction définie par $g(x) = \version{\frac{2x-7}{-5x + 10}}{\frac{-5x+10}{2x-1}}$. Résoudre l'inéquation $g(x) \geq 0$ et déterminer la ou les valeurs interdites. \bareme{1,5}
143 \corrigeab{
144
145 Pour $2x-7$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-7)}{2} = \frac{7}{2}$.
146
147 Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
148
149 \variations
150 x & \mI & & 2 & & 7/2 & & \pI \\
151 2x-7 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
152 -5x+10 & \ga+ & \z & - & \z & \dr- \\
153 g(x) & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
154 \fin
155
156 Valeur interdite : $x=2$
157
158 \cadrem{\Sol = \left] 2 ; \frac{7}{2} \right]}
159 }{
160
161 Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
162
163 Pour $2x-1$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$
164
165 \variations
166 x & \mI & & 1/2 & & 2 & & \pI \\
167 -5x + 10 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
168 2x-1 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
169 g(x) & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
170 \fin
171
172 Valeur interdite : $x=1/2$
173
174 \cadrem{\Sol = \left] \frac{1}{2} ; 2 \right]}
175 }
176
177
178 \end{enumerate}
179
180 \section{Vecteurs (7)}
181 \begin{enumerate}
182 \item Vecteurs et coordonnées :
183 \begin{enumerate}
184 \item Dans un repère, on a $\vu(3; -2)$ et $\vv(5; 2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $2\vu - \vv$.\bareme{0,5} % 1; -6
185 \reponse{
186
187 \[2\vu - \vv (2 \times 3 - 5; 2 \times (-2) - 2) = (1; -6) \]}
188 \item Montrer que ce vecteur est colinéaire au vecteur $\vw \left( \version{-\frac{1}{3} ; 2}{-\frac{1}{2}; 3} \right)$.\bareme{0,5}
189 \reponse{On calcule le produit en croix :
190
191 \version{
192 \[1 \times 2 = 2 \]
193 \[- \frac{1}{3} \times (-6) = 2 \]
194 }{
195 \[ 1 \times 3 = 3 \]
196 \[ -\frac{1}{2} \times (-6) = 3 \]
197 }
198 Les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs sont colinéaires.
199 }
200 \end{enumerate}
201 \item Relation de Chasles : simplifier au maximum les sommes et produits suivants : \bareme{0,5 chq}
202 \begin{enumerate}
203 \item \version{$\ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC}$}{ $\ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD}$ } \corrigeab
204 {\[ \ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC} = \ve{CH} + \ve{AC} = \ve{AC} + \ve{CH} = \ve{AH}\]}
205 {\[ \ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD} = \ve{DH} + \ve{AD} = \ve{AD} + \ve{DH} = \ve{AH} \]}
206 \item \version{ $\ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) $}{ $ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} )$ } \corrigeab{
207 \[ \ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) = \ve{MT} -2(\ve{MG} + \ve{GT}) = \ve{MT} -2\ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM} \]}
208 {\[ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} ) = \ve{MT} - 2(\ve{MA} + \ve{AT}) = \ve{MT} -2 \ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM} \]}
209 \end{enumerate}
210 \item On a \version{$P(-1; 1)$, $A(2; 2)$, $R(6; 0)$, $L(3; -1)$}{ $P(-2; 2)$, $A(1; 3)$, $R(5; 1)$, $L(2; 0)$ }
211 \begin{enumerate}
212 \item Montrer que $PARL$ est un parallélogramme. \bareme{1}\reponse{
213 \[\ve{PA} \version{ (2-(-1); 2-1) = (3; 1) }{ (1-(-2); 3-2) = (3; 1) } \]
214 \[\ve{LR} \version{ (6-3 ; 0-(-1)) ) }{ (5-2 ; 1-0) } = (3; 1) \]
215 On a $\ve{PA} = \ve{LR}$ donc $PARL$ est un parallélogramme.
216
217 Remarque : on peut aussi vérifier $\ve{PL} = \ve{AR}$ par exemple.
218 }
219 \item \version{$U(1, -3)$}{$U(0; -2)$}. Trouver les coordonnées de $M$ telles que $PLUM$ soit un parallélogramme. \bareme{1}
220 \reponse{
221 \[ \ve{PL} = \version{ (3-(-1); -1-1) }{ (2-(-2); 0-2) } = (4; -2)\]
222 \[ \ve{MU} = \version{ (1 - x_M ; -3 -y_M) }{ (0-x_M ; -2 - y_M) } \]
223 $PLUM$ est un parallélogramme $\equi \ve{PL} = \ve{MU}$, ce qui donne :
224 \[ \version{1-x_M}{0-x_M} = 4 \equi \version{x_M = -3}{x_M = -4}\]
225 \[ \version{-3-y_M }{-2-y_M} = -2 \equi \version{y_M = -1}{y_M = 0} \]
226
227 Donc \cadrem{M(\version{-3; -1}{-4; 0})}.
228 }
229 \item Que dire du quadrilatère $MARU$ ? Justifier. \bareme{1}
230 \reponse{$PARL$ est un parallélogramme, donc $\ve{AR} = \ve{PL}$.
231 On a aussi $\ve{PL} = \ve{MU}$ (puisque $PLUM$ est un parallélogramme, mais on l'a déjà dit dans la question précédente).
232 On a donc $\ve{AR} = \ve{MU}$, ce qui signifie que $ARUM$, ou $MARU$ est un parallélogramme.}
233 \item Les points $L$, $U$ et $R$ sont-ils alignés ? Justifier. \bareme{1}
234 \reponse{On calcule les coordonnées des vecteurs :
235 \[\ve{LU} (\version{1-3 ; -3-(-1)}{ (0-2 ; -2-0) }) = (-2; -2) \]
236 \[ \ve{UR} (\version{ 6-1; 0-(-3) }{ (5-1 ; 1-(-2)) }) = (5; 3)\]}
237 On calcule le produit en croix :
238 \[ -2 \times 3 = -6\]
239 \[ -2 \times 5 = -10\]
240 Les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $\ve{LU}$ et $\ve{UR}$ ne sont pas colinéaires : $L, U, R$ ne sont pas alignés.
241
242 \item Trouver les coordonnées d'un point $S$, de même abscisse que $L$, tel que $(LU) // (RS)$ \bareme{1}
243 \reponse{On cherche $S(\version{3}{2}; a)$, de telle sorte que les vecteurs $\ve{LU}$ et $\ve{RS}$ soient colinéaires.
244 \[\ve{LU} (-2; 2) \]
245 \[\ve{RS} (\version{3 - 6}{2 - 5}; \version{a-0}{a-1}) = (-3; \version{a}{a-1}) \]
246 Avec le produit en croix, on obtient :
247 \[\version{-2 \times a = -3 \times 2 \equi a = \frac{-6}{-2} = 3}
248 { -2 \times (a-1) = -3 \times 2 \equi -2a = -6 -2 \equi a = \frac{-8}{-2} = 4}
249 \]
250 D'où \cadrem{S(\version{3; 3}{2; 4})}
251 }
252
253 \end{enumerate}
254
255 %\item $ABCD$ est un parallélogramme, et $EFCD$ est un parallélogramme. En utilisant des égalités de vecteurs, montrer que $ABFE$ est un parallélogramme. \bareme{1,5} % AB = DC, EF = DC. Donc AB = EF donc ABFE paraléllo.
256
257 \end{enumerate}
258
259 \section{Fonctions (3,5)}
260 $f$ est une fonction dont on donne le tableau de variations :
261
262 \begin{minipage}{9cm}
263 \variations
264 \version{x & -2 & & 3 & & 4 & & 7 \\}
265 {x & -4 & & 1 & & 2 & & 4 \\}
266 f(x) & \h{4} & \d & \b{-2} & \c & \h{0} & \d & \b{-1} \\
267 \fin
268 \end{minipage}
269 \begin{minipage}{8cm}\includegraphics[width=8cm]{fond_graphe.pdf}\end{minipage}
270
271 \begin{enumerate}
272 \item Peut-on dire que $f$ est décroissante sur \version{$[-2; 7]$}{$[-4; 4]$} ? Justifier brièvement. \bareme{0.5}
273 \item Quel est le maximum de $f$ sur son ensemble de définition, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
274 \item Quel est le minimum de $f$ sur $\left[-1; \frac{\version{7}{3}}{2} \right]$, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
275 \item On apprend que $f(0) = 0$. Étudier le signe de $f$ (sous forme de tableau ou avec des phrases). \bareme{1}
276 \item Dessiner ci-dessus un graphique possible pour $f$. \bareme{1}
277
278
279 \end{enumerate}
280
281
282 \section{Géométrie dans l'espace (4)}
283 \begin{minipage}{4.5cm}\includegraphics[width=4cm]{cubex.pdf}\end{minipage}
284 \begin{minipage}{12cm}
285 $ABCDEFGH$ est un cube de côté \ucm{\version{5}{4}}. On place les points $A'$, $C'$ et $F'$ sur les arêtes $[BA]$, $[BC]$ et $[BF]$, de telle sorte que $[BA'] = [BC'] = [BF'] = \ucm{x}$ (voir la figure). On \og coupe \fg et on enlève le petit tétraèdre $BA'C'F'$, et on s'intéresse à l'\souligne{aire} de la figure restante ($AA'C'CDF'EFGH$), qu'on notera $A(x)$.
286 \end{minipage}
287 \begin{enumerate}
288 \item Dans quel intervalle peut varier $x$ ? \bareme{0,5}
289 \item Calculer l'aire lorsque $x=0$, et $x=\version{5}{4}$.
290
291 \emph{Aide : vous pouvez utiliser la propriété suivante : l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $ \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$.} \bareme{1,5}
292 \reponse{
293 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois triangles rectangles isocèles, plus le triangle $A'C'F'$.
294
295 L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
296
297 L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = \frac{b \times h}{2} = \frac{\version{5}{4}^2}{2} = \]
298
299 L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C' \frac{\sqrt 3}{4}\]
300 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore
301 }
302 \item Montrer que
303 \[ A(x) = \version{150}{96} - \frac{3x^2}{2} + \frac{x^2\sqrt 3}{2}\]
304 (vous pouvez encore utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral) \bareme{1,5}
305 \reponse{
306 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois carrés \og coupés \fg (un triangle rectangle isocèle en moins), plus le triangle $A'C'F'$.
307
308 L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
309
310 L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{b \times h}{2} = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{x^2}{2} \]
311
312 L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C'^2 \frac{\sqrt 3}{4}\]
313 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, $A'C'^2 = A'B^2 + C'B^2 = 2x^2$. D'où $A'C' = x \sqrt{2}$
314 Donc \[ A_3 = 2x^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = x^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \]
315
316 D'où \[ A(x) = 6 \version{5}{4}^2 - \frac{x^2}{2} (3 - \sqrt 3)\]
317
318 }
319 \item À l'aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de $A$ sur son ensemble de définition. \bareme{0,5}
320 \end{enumerate}
321
322
323 \section*{Bonus}
324 %\emph{Dans cette question, une réponse sans un minimum de justification ne vaudra pas de bonus ! Par contre, une réponse argumentée, même fausse, ou un raisonnement partiel pourra en valoir...}
325
326
327 Vous êtes face à deux coffres. Chacun peut contenir un trésor ou un piège mortel (mais il se peut très bien que les deux coffres contiennent un trésor, ou que les deux coffres contiennent un piège). Les inscriptions sur les coffres sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
328
329 Le premier coffre a pour inscription~: «~Il y a un piège ici, ou un trésor dans l'autre coffre~».
330
331 Le second coffre a pour inscription~: «~Il y a un trésor dans l'autre coffre~».
332
333 \smallskip
334
335 Faut-il ouvrir un coffre (lequel) ? Les deux ? Aucun ?
336 \end{document}