2nde/DST_8/dst8.tex

   1 \input{../../header.tex}
   2
   3 \title{\vspace{-1.5cm}Devoir sur table numéro 8 -- classe de 2nde 6 \vspace{-1.5cm}}
   4 \date{\dateoucorr{27/05/2016} -- Sujet \version{A}{B}}
   5
   6 \begin{document}
   7
   8 \maketitle
   9 \nomprenom
  10 %\bigskip
  11
  12 \chapoDST{Inéquations
  13
  14 \bigskip
  15
  16 Vecteurs
  17
  18 \bigskip
  19
  20 Fonctions
  21
  22 \bigskip
  23
  24 Géométrie dans l'espace
  25
  26 \bigskip
  27 }
  28
  29 \section{Inéquations (5,5)}
  30
  31 \begin{enumerate}
  32 \item $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sont trois expressions dont on donne les tableaux de signe :
  33
  34 \begin{minipage}{0.4\textwidth}
  35 \variations
  36 x & \mI & & -1 & & \pI \\
  37 A(x) & \ga- & \z & \dr+ \\
  38 \fin
  39 \end{minipage}
  40 \begin{minipage}{0.4\textwidth}
  41 \variations
  42 x & \mI & & \frac{3}{2} & & \pI \\
  43 B(x) & \ga+ & \z & \dr- \\
  44 \fin
  45 \end{minipage}
  46
  47 %\begin{minipage}{0.3\textwidth}
  48 \variations
  49 x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
  50 C(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
  51 \fin
  52 %\end{minipage}
  53
  54 En utilisant ces tableaux de signe, dresser les tableaux de signe des expressions suivantes :
  55 \begin{enumerate}
  56 \item \version{$A(x)B(x)$}{$A(x)C(x)$} \bareme{0.75} \corrigeab{
  57
  58 \variations
  59 x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
  60 A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
  61 B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
  62 A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
  63 \fin
  64 }{
  65
  66 \variations
  67 x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
  68 A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
  69 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
  70 A(x)C(x) & \ga+ & \z & - & \z & + & \z & \dr+\\
  71 \fin
  72
  73 }
  74 \item \version{$B(x)C(x)$}{$A(x)B(x)$} \bareme{0.75}
  75 \corrigeab{
  76
  77 \variations
  78 x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
  79 B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
  80 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
  81 B(x)C(x) & \ga- & \z & + & \z & - & \z & \dr+ \\
  82 \fin
  83 }{
  84
  85 \variations
  86 x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
  87 A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
  88 B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
  89 A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
  90 \fin
  91 }
  92 \item $\frac{\version{A(x)}{B(x)}}{C(x)}$ \bareme{1}
  93 \corrigeab{
  94
  95 \variations
  96 x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
  97 A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
  98 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
  99 \frac{A(x)}{C(x)} & \ga+ & \z & - & \bb & + & \bb & \dr+\\
 100 \fin
 101 }{
 102
 103 \variations
 104 x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
 105 B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
 106 C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
 107 \frac{B(x)}{C(x)} & \ga- & \z & + & \bb & - & \bb & \dr+ \\
 108 \fin
 109 }
 110
 111 \end{enumerate}
 112
 113 \item $f$ est la fonction définie par $f(x) = \version{(x-1)(-2x-1)}{(x-2)(-3x + 9)}$. Résoudre l'inéquation $f(x) <0$.\bareme{1,5}
 114 \reponse{
 115
 116 Pour $\version{x-1}{x-2}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{1} = 1 }{ \frac{-(-2))}{1} = 2 }$.
 117
 118 Pour $\version{-2x-1}{-3x+9}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{-2} = -\frac{1}{2} }{ \frac{-9}{-3} = 3 }$.
 119
 120 \version{
 121 \variations
 122 x & \mI & & -1/2 & & 1 & & \pI \\
 123 x-1 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
 124 -2x-1 & \ga+ & \z & - & \l & \dr- \\
 125 f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
 126 \fin
 127
 128 \cadrem{\Sol = \left]-\infty; -\frac{1}{2} \right[ \cup ] 1; +\infty[}
 129 }
 130 {
 131 \variations
 132 x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
 133 x-2 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
 134 -3x + 9 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
 135 f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
 136 \fin
 137
 138 \cadrem{\Sol = ]-\infty; 2[ \cup ] 3; +\infty[ }
 139
 140 }
 141 }
 142 \item $g$ est la fonction définie par $g(x) = \version{\frac{2x-7}{-5x + 10}}{\frac{-5x+10}{2x-1}}$. Résoudre l'inéquation $g(x) \geq 0$ et déterminer la ou les valeurs interdites. \bareme{1,5}
 143 \corrigeab{
 144
 145 Pour $2x-7$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-7)}{2} = \frac{7}{2}$.
 146
 147 Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
 148
 149 \variations
 150 x & \mI & & 2 & & 7/2 & & \pI \\
 151 2x-7 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
 152 -5x+10 & \ga+ & \z & - & \z & \dr- \\
 153 g(x) & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
 154 \fin
 155
 156 Valeur interdite : $x=2$
 157
 158 \cadrem{\Sol = \left] 2 ; \frac{7}{2} \right]}
 159 }{
 160
 161 Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
 162
 163 Pour $2x-1$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$
 164
 165 \variations
 166 x & \mI & & 1/2 & & 2 & & \pI \\
 167 -5x + 10 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
 168 2x-1 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
 169 g(x)  & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
 170 \fin
 171
 172 Valeur interdite : $x=1/2$
 173
 174 \cadrem{\Sol = \left] \frac{1}{2} ; 2 \right]}
 175 }
 176
 177
 178 \end{enumerate}
 179
 180 \section{Vecteurs (7)}
 181 \begin{enumerate}
 182 \item Vecteurs et coordonnées :
 183 \begin{enumerate}
 184 \item Dans un repère, on a $\vu(3; -2)$ et $\vv(5; 2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $2\vu - \vv$.\bareme{0,5} % 1; -6
 185 \reponse{
 186
 187 \[2\vu - \vv (2 \times 3 - 5; 2 \times (-2) - 2) = (1; -6) \]}
 188 \item Montrer que ce vecteur est colinéaire au vecteur $\vw \left( \version{-\frac{1}{3} ; 2}{-\frac{1}{2}; 3} \right)$.\bareme{0,5}
 189 \reponse{On calcule le produit en croix :
 190
 191 \version{
 192 \[1 \times 2 = 2 \]
 193 \[- \frac{1}{3} \times (-6) = 2 \]
 194 }{
 195 \[ 1 \times 3 = 3 \]
 196 \[ -\frac{1}{2} \times (-6) = 3 \]
 197 }
 198 Les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs sont colinéaires.
 199 }
 200 \end{enumerate}
 201 \item Relation de Chasles : simplifier au maximum les sommes et produits suivants : \bareme{0,5 chq}
 202 \begin{enumerate}
 203         \item \version{$\ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC}$}{ $\ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD}$ } \corrigeab
 204 {\[ \ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC} = \ve{CH} + \ve{AC} = \ve{AC} + \ve{CH} = \ve{AH}\]}
 205 {\[ \ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD} = \ve{DH} + \ve{AD} = \ve{AD} + \ve{DH} = \ve{AH} \]}
 206         \item \version{ $\ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) $}{ $ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} )$ } \corrigeab{
 207 \[ \ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) = \ve{MT} -2(\ve{MG} + \ve{GT}) = \ve{MT} -2\ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM} \]}
 208 {\[ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} ) = \ve{MT} - 2(\ve{MA} + \ve{AT}) = \ve{MT} -2 \ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM}  \]}
 209 \end{enumerate}
 210 \item On a \version{$P(-1; 1)$, $A(2; 2)$, $R(6; 0)$, $L(3; -1)$}{ $P(-2; 2)$, $A(1; 3)$, $R(5; 1)$, $L(2; 0)$ }
 211 \begin{enumerate}
 212   \item Montrer que $PARL$ est un parallélogramme. \bareme{1}\reponse{
 213 \[\ve{PA} \version{ (2-(-1); 2-1) = (3; 1) }{ (1-(-2); 3-2) = (3; 1) } \]
 214 \[\ve{LR} \version{ (6-3 ; 0-(-1)) ) }{ (5-2 ; 1-0) } = (3; 1) \]
 215 On a $\ve{PA} = \ve{LR}$ donc $PARL$ est un parallélogramme.
 216
 217 Remarque : on peut aussi vérifier $\ve{PL} = \ve{AR}$ par exemple.
 218 }
 219   \item \version{$U(1, -3)$}{$U(0; -2)$}. Trouver les coordonnées de $M$ telles que $PLUM$ soit un parallélogramme. \bareme{1}
 220 \reponse{
 221 \[ \ve{PL} = \version{ (3-(-1); -1-1) }{ (2-(-2); 0-2) } = (4; -2)\]
 222 \[ \ve{MU} = \version{ (1 - x_M ; -3 -y_M) }{ (0-x_M ; -2 - y_M) } \]
 223 $PLUM$ est un parallélogramme $\equi \ve{PL} = \ve{MU}$, ce qui donne :
 224 \[ \version{1-x_M}{0-x_M} = 4 \equi \version{x_M = -3}{x_M = -4}\]
 225 \[ \version{-3-y_M }{-2-y_M} = -2 \equi \version{y_M = -1}{y_M = 0} \]
 226
 227 Donc \cadrem{M(\version{-3; -1}{-4; 0})}.
 228 }
 229   \item Que dire du quadrilatère $MARU$ ? Justifier. \bareme{1}
 230 \reponse{$PARL$ est un parallélogramme, donc $\ve{AR} = \ve{PL}$.
 231 On a aussi $\ve{PL} = \ve{MU}$ (puisque $PLUM$ est un parallélogramme, mais on l'a déjà dit dans la question précédente).
 232 On a donc $\ve{AR} = \ve{MU}$, ce qui signifie que $ARUM$, ou $MARU$ est un parallélogramme.}
 233   \item Les points $L$, $U$ et $R$ sont-ils alignés ? Justifier. \bareme{1}
 234 \reponse{On calcule les coordonnées des vecteurs :
 235 \[\ve{LU} (\version{1-3 ; -3-(-1)}{ (0-2 ; -2-0) }) = (-2; -2) \]
 236 \[ \ve{UR} (\version{ 6-1; 0-(-3) }{ (5-1 ; 1-(-2)) }) = (5; 3)\]}
 237 On calcule le produit en croix :
 238 \[ -2 \times 3 = -6\]
 239 \[ -2 \times 5 = -10\]
 240 Les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $\ve{LU}$ et $\ve{UR}$ ne sont pas colinéaires : $L, U, R$ ne sont pas alignés.
 241
 242   \item Trouver les coordonnées d'un point $S$, de même abscisse que $L$, tel que $(LU) // (RS)$ \bareme{1}
 243 \reponse{On cherche $S(\version{3}{2}; a)$, de telle sorte que les vecteurs $\ve{LU}$ et $\ve{RS}$ soient colinéaires.
 244 \[\ve{LU} (-2; 2) \]
 245 \[\ve{RS} (\version{3 - 6}{2 - 5}; \version{a-0}{a-1}) = (-3; \version{a}{a-1}) \]
 246 Avec le produit en croix, on obtient :
 247 \[\version{-2 \times a = -3 \times 2 \equi a = \frac{-6}{-2} = 3}
 248 { -2 \times (a-1) = -3 \times 2 \equi -2a = -6 -2 \equi a = \frac{-8}{-2} = 4}
 249 \]
 250 D'où \cadrem{S(\version{3; 3}{2; 4})}
 251 }
 252
 253 \end{enumerate}
 254
 255 %\item $ABCD$ est un parallélogramme, et $EFCD$ est un parallélogramme. En utilisant des égalités de vecteurs, montrer que $ABFE$ est un parallélogramme. \bareme{1,5} % AB = DC, EF = DC. Donc AB = EF donc ABFE paraléllo.
 256
 257 \end{enumerate}
 258
 259 \section{Fonctions (3,5)}
 260 $f$ est une fonction dont on donne le tableau de variations :
 261
 262 \begin{minipage}{9cm}
 263 \variations
 264 \version{x & -2 & & 3 & & 4 & & 7 \\}
 265 {x & -4 & & 1 & & 2 & & 4 \\}
 266 f(x) & \h{4} & \d & \b{-2} & \c & \h{0} & \d & \b{-1} \\
 267 \fin
 268 \end{minipage}
 269 \begin{minipage}{8cm}\includegraphics[width=8cm]{fond_graphe.pdf}\end{minipage}
 270
 271 \begin{enumerate}
 272 \item Peut-on dire que $f$ est décroissante sur \version{$[-2; 7]$}{$[-4; 4]$} ? Justifier brièvement. \bareme{0.5}
 273 \item Quel est le maximum de $f$ sur son ensemble de définition, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
 274 \item Quel est le minimum de $f$ sur $\left[-1; \frac{\version{7}{3}}{2} \right]$, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
 275 \item On apprend que $f(0) = 0$. Étudier le signe de $f$ (sous forme de tableau ou avec des phrases). \bareme{1}
 276 \item Dessiner ci-dessus un graphique possible pour $f$. \bareme{1}
 277
 278
 279 \end{enumerate}
 280
 281
 282 \section{Géométrie dans l'espace (4)}
 283 \begin{minipage}{4.5cm}\includegraphics[width=4cm]{cubex.pdf}\end{minipage}
 284 \begin{minipage}{12cm}
 285 $ABCDEFGH$ est un cube de côté \ucm{\version{5}{4}}. On place les points $A'$, $C'$ et $F'$ sur les arêtes $[BA]$, $[BC]$ et $[BF]$, de telle sorte que $[BA'] = [BC'] = [BF'] = \ucm{x}$ (voir la figure). On \og coupe \fg et on enlève le petit tétraèdre $BA'C'F'$, et on s'intéresse à l'\souligne{aire} de la figure restante ($AA'C'CDF'EFGH$), qu'on notera $A(x)$.
 286 \end{minipage}
 287 \begin{enumerate}
 288 \item Dans quel intervalle peut varier $x$ ? \bareme{0,5}
 289 \item Calculer l'aire lorsque $x=0$, et $x=\version{5}{4}$.
 290
 291 \emph{Aide : vous pouvez utiliser la propriété suivante : l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $ \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$.} \bareme{1,5}
 292 \reponse{
 293 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois triangles rectangles isocèles, plus le triangle $A'C'F'$.
 294
 295 L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
 296
 297 L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = \frac{b \times h}{2} = \frac{\version{5}{4}^2}{2} = \]
 298
 299 L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C' \frac{\sqrt 3}{4}\]
 300 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore
 301 }
 302 \item Montrer que
 303 \[ A(x) = \version{150}{96} - \frac{3x^2}{2} + \frac{x^2\sqrt 3}{2}\]
 304 (vous pouvez encore utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral) \bareme{1,5}
 305 \reponse{
 306 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois carrés \og coupés \fg (un triangle rectangle isocèle en moins), plus le triangle $A'C'F'$.
 307
 308 L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
 309
 310 L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{b \times h}{2} = 3 \version{5}{4}^2  - 3 \frac{x^2}{2} \]
 311
 312 L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C'^2 \frac{\sqrt 3}{4}\]
 313 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, $A'C'^2 = A'B^2 + C'B^2 = 2x^2$. D'où $A'C' = x \sqrt{2}$
 314 Donc \[ A_3 = 2x^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = x^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \]
 315
 316 D'où \[ A(x) = 6 \version{5}{4}^2 - \frac{x^2}{2} (3 - \sqrt 3)\]
 317
 318 }
 319 \item À l'aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de $A$ sur son ensemble de définition. \bareme{0,5}
 320 \end{enumerate}
 321
 322
 323 \section*{Bonus}
 324 %\emph{Dans cette question, une réponse sans un minimum de justification ne vaudra pas de bonus ! Par contre, une réponse argumentée, même fausse, ou un raisonnement partiel pourra en valoir...}
 325
 326
 327 Vous êtes face à deux coffres. Chacun peut contenir un trésor ou un piège mortel (mais il se peut très bien que les deux coffres contiennent un trésor, ou que les deux coffres contiennent un piège). Les inscriptions sur les coffres sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
 328
 329 Le premier coffre a pour inscription~: «~Il y a un piège ici, ou un trésor dans l'autre coffre~».
 330
 331 Le second coffre a pour inscription~: «~Il y a un trésor dans l'autre coffre~».
 332
 333 \smallskip
 334
 335 Faut-il ouvrir un coffre (lequel) ? Les deux ? Aucun ?
 336 \end{document}