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1 \input{../../header.tex}
2
3 \title{\vspace{-1.5cm}Devoir sur table numéro 8 -- classe de 2nde 6 \vspace{-1.5cm}}
4 \date{\dateoucorr{27/05/2016} -- Sujet \version{A}{B}}
5
6 \begin{document}
7
8 \maketitle
9 \nomprenom
10 %\bigskip
11
12 \chapoDST{Inéquations
13
14 \bigskip
15
16 Vecteurs
17
18 \bigskip
19
20 Fonctions
21
22 \bigskip
23
24 Géométrie dans l'espace
25
26 \bigskip
27 }
28
29 \section{Inéquations (5,5)}
30
31 \begin{enumerate}
32 \item $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sont trois expressions dont on donne les tableaux de signe :
33
34 \begin{minipage}{0.4\textwidth}
35 \variations
36 x & \mI & & -1 & & \pI \\
37 A(x) & \ga- & \z & \dr+ \\
38 \fin
39 \end{minipage}
40 \begin{minipage}{0.4\textwidth}
41 \variations
42 x & \mI & & \frac{3}{2} & & \pI \\
43 B(x) & \ga+ & \z & \dr- \\
44 \fin
45 \end{minipage}
46
47 %\begin{minipage}{0.3\textwidth}
48 \variations
49 x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
50 C(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
51 \fin
52 %\end{minipage}
53
54 En utilisant ces tableaux de signe, dresser les tableaux de signe des expressions suivantes :
55 \begin{enumerate}
56 \item \version{$A(x)B(x)$}{$A(x)C(x)$} \bareme{0.75}
57 \item \version{$B(x)C(x)$}{$A(x)B(x)$} \bareme{0.75}
58 \item $\frac{\version{A(x)}{B(x)}}{C(x)}$ \bareme{1}
59 \end{enumerate}
60
61 \item $f$ est la fonction définie par $f(x) = \version{(x-1)(-2x-1)}{(x-2)(-3x + 9)}$. Résoudre l'inéquation $f(x) <0$.\bareme{1,5}
62 \item $g$ est la fonction définie par $g(x) = \version{\frac{2x-7}{-5x + 10}}{\frac{-5x+10}{2x-1}}$. Résoudre l'inéquation $g(x) \geq 0$ et déterminer la ou les valeurs interdites. \bareme{1,5}
63
64 \end{enumerate}
65
66 \section{Vecteurs (7)}
67 \begin{enumerate}
68 \item Vecteurs et coordonnées :
69 \begin{enumerate}
70 \item Dans un repère, on a $\vu(3; -2)$ et $\vv(5; 2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $2\vu - \vv$.\bareme{0,5} % 1; -6
71 \item Montrer que ce vecteur est colinéaire au vecteur $\vw \left( \version{-\frac{1}{3} ; 2}{-\frac{1}{2}; 3} \right)$.\bareme{0,5}
72 %\item Calculer les coordonnées d'un vecteur $\w'$ tel que $\vu + \vv + \vw' = \ve{0}$. \bareme{1}
73 %\item $A(2; 1)$. Le point $B$ est tel que $\ve{AB} = \vu$. Trouver les coordonnées de $B$. \bareme{0,5} %(5; 1)
74 %\item On a $C(-1; -1)$ et $D(-4; 1)$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme. \bareme{1}
75 \end{enumerate}
76 \item Relation de Chasles : simplifier au maximum les sommes et produits suivants : \bareme{0,5 chq}
77 \begin{enumerate}
78 \item \version{$\ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC}$}{ $\ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD}$ }
79 \item \version{ $\ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) $}{ $ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} )$ }
80 % \item 3($\ve{FK} - \ve{SP}) + 2(2\ve{KP} - \ve{FS})$
81 \end{enumerate}
82 \item On a \version{$P(-1; 1)$, $A(2; 2)$, $R(6; 0)$, $L(3; -1)$}{ $P(-2; 2)$, $A(1; 3)$, $R(5; 1)$, $L(2; 0)$ }
83 \begin{enumerate}
84 \item Montrer que $PARL$ est un parallélogramme. \bareme{1}
85 \item \version{$U(1, -3)$}{$U(0; -2)$}. Trouver les coordonnées de $M$ telles que $PLUM$ soit un parallélogramme. \bareme{1}
86 \item Que dire du quadrilatère $MARU$ ? Justifier. \bareme{1}
87 \item Les points $L$, $U$ et $R$ sont-ils alignés ? Justifier. \bareme{1}
88 \item Trouver les coordonnées d'un point $S$, de même abscisse que $L$, tel que $(LU) // (RS)$ \bareme{1}
89 \end{enumerate}
90
91 %\item $ABCD$ est un parallélogramme, et $EFCD$ est un parallélogramme. En utilisant des égalités de vecteurs, montrer que $ABFE$ est un parallélogramme. \bareme{1,5} % AB = DC, EF = DC. Donc AB = EF donc ABFE paraléllo.
92
93 \end{enumerate}
94
95 \section{Fonctions (3,5)}
96 $f$ est une fonction dont on donne le tableau de variations :
97
98 \begin{minipage}{9cm}
99 \variations
100 \version{x & -2 & & 3 & & 4 & & 7 \\}
101 {x & -4 & & 1 & & 2 & & 4 \\}
102 f(x) & \h{4} & \d & \b{-2} & \c & \h{0} & \d & \b{-1} \\
103 \fin
104 \end{minipage}
105 \begin{minipage}{8cm}\includegraphics[width=8cm]{fond_graphe.pdf}\end{minipage}
106
107 \begin{enumerate}
108 \item Peut-on dire que $f$ est décroissante sur \version{$[-2; 7]$}{$[-4; 4]$} ? Justifier brièvement. \bareme{0.5}
109 \item Quel est le maximum de $f$ sur son ensemble de définition, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
110 \item Quel est le minimum de $f$ sur $\left[-1; \frac{\version{7}{3}}{2} \right]$, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
111 \item On apprend que $f(0) = 0$. Étudier le signe de $f$ (sous forme de tableau ou avec des phrases). \bareme{1}
112 \item Dessiner ci-dessus un graphique possible pour $f$. \bareme{1}
113
114
115 \end{enumerate}
116
117
118 \section{Géométrie dans l'espace (4)}
119 \begin{minipage}{4.5cm}\includegraphics[width=4cm]{cubex.pdf}\end{minipage}
120 \begin{minipage}{12cm}
121 $ABCDEFGH$ est un cube de côté \ucm{\version{5}{4}}. On place les points $A'$, $C'$ et $F'$ sur les arêtes $[BA]$, $[BC]$ et $[BF]$, de telle sorte que $[BA'] = [BC'] = [BF'] = \ucm{x}$ (voir la figure). On \og coupe \fg et on enlève le petit tétraèdre $BA'C'F'$, et on s'intéresse à l'\souligne{aire} de la figure restante ($AA'C'CDF'EFGH$), qu'on notera $A(x)$.
122 \end{minipage}
123 \begin{enumerate}
124 \item Dans quel intervalle peut varier $x$ ? \bareme{0,5}
125 \item Calculer l'aire lorsque $x=0$, et $x=\version{5}{4}$.
126
127 \emph{Aide : vous pouvez utiliser la propriété suivante : l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $ \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$.} \bareme{1,5}
128 \reponse{
129 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois triangles rectangles isocèles, plus le triangle $A'C'F'$.
130
131 L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
132
133 L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = \frac{b \times h}{2} = \frac{\version{5}{4}^2}{2} = \]
134
135 L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C' \frac{\sqrt 3}{4}\]
136 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore
137 }
138 \item Montrer que
139 \[ A(x) = \version{150}{96} - \frac{3x^2}{2} + \frac{x^2\sqrt 3}{2}\]
140 (vous pouvez encore utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral) \bareme{1,5}
141 \reponse{
142 La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois carrés \og coupés \fg (un triangle rectangle isocèle en moins), plus le triangle $A'C'F'$.
143
144 L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
145
146 L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{b \times h}{2} = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{x^2}{2} \]
147
148 L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C'^2 \frac{\sqrt 3}{4}\]
149 Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, $A'C'^2 = A'B^2 + C'B^2 = 2x^2$. D'où $A'C' = x \sqrt{2}$
150 Donc \[ A_3 = 2x^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = x^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \]
151
152 D'où \[ A(x) = 6 \version{5}{4}^2 - \frac{x^2}{2} (3 - \sqrt 3)\]
153
154 }
155 \item À l'aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de $A$ sur son ensemble de définition. \bareme{0,5}
156 \end{enumerate}
157
158
159 \section*{Bonus}
160 %\emph{Dans cette question, une réponse sans un minimum de justification ne vaudra pas de bonus ! Par contre, une réponse argumentée, même fausse, ou un raisonnement partiel pourra en valoir...}
161
162
163 Vous êtes face à deux coffres. Chacun peut contenir un trésor ou un piège mortel (mais il se peut très bien que les deux coffres contiennent un trésor, ou que les deux coffres contiennent un piège). Les inscriptions sur les coffres sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
164
165 Le premier coffre a pour inscription~: «~Il y a un piège ici, ou un trésor dans l'autre coffre~».
166
167 Le second coffre a pour inscription~: «~Il y a un trésor dans l'autre coffre~».
168
169 \smallskip
170
171 Faut-il ouvrir un coffre (lequel) ? Les deux ? Aucun ?
172 \end{document}