corrigé dst
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2
3 \title{\vspace{-1.5cm}Devoir sur table numéro 5 -- classe de 2nde 6 \vspace{-1.5cm}}
4 \date{\dateoucorr{29/01/2016}}
5
6 \begin{document}
7
8 \maketitle
9 \nomprenom
10 %\bigskip
11
12 \chapoDST{Géométrie dans l'espace :
13
14 \bigskip
15
16 Fonctions
17
18 \bigskip
19
20 Stats
21
22 \bigskip
23
24 }
25
26 \section{Position relative de plans et de droites (7)}
27
28 \begin{wrapfigure}[2]{R}{5cm}
29 \includegraphics[width=5cm]{exo1.pdf}
30 \end{wrapfigure}
31
32
33 Dans la figure ci-contre, $ABCDEFGH$ est un cube. $M$ est le milieu de $[AD]$, et $N$ est le milieu de $[BC]$.
34
35
36 \begin{enumerate}
37 \item (Sur l'énoncé) : donner, sans justifier
38 \begin{enumerate}[a)]
39 \item Une droite parallèle à la droite $(BF)$~:
40
41 \reponse{$(AE)$, $(DH)$ ou $(CG)$}
42 \item Une droite sécante à la droite $(AC)$~:
43
44 \reponse{$(BC)$, $(CG)$, $(EC)$, $(BN)$, \ldots}
45 \item Une droite confondue avec la droite $(BC)$~:
46
47 \reponse{$(NB)$ ou $(NC)$}
48 \item Deux droites non coplanaires~:
49
50 \reponse{$(AB)$ et $(CG)$, ou $(AF)$ et $(CH)$, \ldots}
51 \item Un plan parallèle au plan $(ADH)$~: \reponse{$(BCG)$, \ldots}
52 \item Un plan sécant au plan $(MNC)$~: \reponse{$(DCH)$, ou $(ABF)$, \ldots}
53 \item Une droite contenue dans le plan $(CBF)$~: \reponse{$(BF)$, $(NC)$ ou $(NG)$, \ldots}
54 \item Une droite sécante au plan $(DCH)$~: \reponse{$(AH)$ ou $(BC)$, \ldots}
55 \end{enumerate} \bareme{0,5 pt par question, donc 4 points}
56 \item Étudier l'intersection des plans $(ABF)$ et $(DCB)$. \bareme{1,5}
57
58 \reponse{$B \in (ABF)$ et $B\in (DCB)$.
59
60 $A \in (ABF)$ et $A\in (DCB)$ car $ABCD$ est une face du cube.
61
62 $F \in(ABF)$ mais $F\not\in (DCB)$, donc les plans ne sont pas confondus.
63
64 Les plans $(ABF)$ et $(DCB)$ sont donc sécants en $(AF)$.
65
66 }
67
68 \item Étudier l'intersection de la droite $(MN)$ et du plan $(CGF)$. \bareme{1,5}
69
70 \reponse{$N \in (MN)$ et $N \in (CFG)$ car $N$ est sur la droite $(BC)$ qui est inclus dans le plan $(BCGF)$.
71
72 De plus, $M \in (MN)$ mais $M \not\in (CFG)$. Donc la droite $(MN)$ n'est pas incluse dans le plan $(CGF)$.
73
74 La droite et le plan sont sécants en $N$.}
75
76 \end{enumerate}
77
78
79 \section{Parallélisme dans l'espace (5)}
80
81 \begin{wrapfigure}[4]{r}{5cm}
82 \includegraphics[width=5cm]{exo2.pdf}
83 \end{wrapfigure}
84
85 Dans la figure ci-contre, $ABCDEF$ est un prisme droit à base triangulaire $(ABC)$. $I$ est le milieu de $ [BC]$, $J$ est le milieu de $[AB]$, et $K$ est un point de l'arête $[DE]$. Le plan $(IJK)$ coupe la droite $(EF)$ en $L$.
86
87
88
89 \begin{enumerate}
90 \item Montrer que les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles. \bareme{2}
91
92 \reponse{On se place dans le plan $(ABC)$. Les points $B$, $I$, $C$ sont alignés dans cet ordre et les points $B$, $J$, $A$ aussi.
93
94 $I$ est le milieu de $[BC]$ donc $BI = \frac{BC}{2}$, donc $\frac{BI}{BC} = \frac{1}{2}$.\\
95 $J$ est le milieu de $[AB]$ donc $BJ = \frac{AB}{2}$, donc $\frac{BJ}{BA} = \frac{1}{2}$.
96
97 On a $\frac{BI}{BC} = \frac{BJ}{BA}$, donc par la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
98
99 Remarque~: on peut aussi utiliser le théorème de la droite des milieux.
100
101
102 }
103 \item Montrer que les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont parallèles. \bareme{2} \reponse{
104 Les plans $(ABC)$ et $(DEF)$ sont parallèles (car $ABCDEF$ est un prisme droit).
105
106 On sait que la droite $(IJ)$ est dans le plan $(ABC)$ et le plan $(IJK)$ donc les plans $(IJK)$ et $(ABC)$ sont sécants en $(IJ)$.
107
108 La droite $(KL)$ est l'intersection des plans $(IJK)$ et $(DEF)$.
109
110 Donc par la propriété (P5), les droites $(KL)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
111 }
112 \item Quelle est la position relative des droites $(DF)$ et $(KL)$~? Justifier. \bareme{1} \reponse{
113 On sait que $(DF) // (AC)$, car $DFCA$ est un rectangle.\\
114 On a $(AC) // (IJ)$ (montré dans la question 1).\\
115 Par (P1), $(DF) // (IJ)$.
116
117 On a aussi $(IJ) // (KL)$ d'après la question 2.\\
118 Par (P1), encore, $(DF)$ et $(KL)$ sont parallèles.
119
120 }
121 \end{enumerate}
122
123 \section{Fonctions (5)}
124
125 $f$ est une fonction dont on donne le tableau de variation ci-dessous
126
127 \variations
128 x & \mI & & -4 & & 1 & & 2 \\
129 f(x) & \b{~} & \c & \h{1} & \d & \b0 & \c & \h{3} \\
130 \fin
131
132 \begin{enumerate}
133 \item Quel est l'ensemble de définition de $f$~?\bareme{0,5} \reponse{$]-\infty; 2]$}
134 \item Quel est le maximum de $f$ sur $[-5; 2]$ et où est-il atteint ? \bareme{0,5} \reponse{Le maximum de $f$ sur $[-5; 2]$ est $3$, atteint en $2$.}
135 \item Quelqu'un prétend \og $f$ est décroissante sur $]-2; 1[$. \fg. Est-ce juste ? Argumenter. \bareme{0,5} \reponse{$f$ est décroissante sur $[-4; 1]$, donc elle l'est sur un intervalle plus petit : elle est bien décroissante sur $]-2; 1[$.}
136 \item Quelqu'un prétend \og Le minimum de $f$ sur son ensemble de définition est $0$, atteint en $1$.\fg. Est-ce juste ? Argumenter. \bareme{1} \reponse{On ne peut pas savoir. En effet, on ne sait pas \og\fg va la courbe en $-\infty$, elle peut descendre encore (et auquel cas le minimum n'est pas $0$), ou descendre doucement en restant au dessus de $0$.}
137 \item On donne maintenant une nouvelle information sur $f$ : $f(-6) = 0$. Étudier le signe de $f$ sur son ensemble de définition.% (rappel : cela signifie indiquer sur quels ensembles $f$ est positive, négative et nulle).
138 \reponse{
139
140 $f(x) >0$ pour $x \in]-6; 1[ \cup ]1; 2[$.
141
142 $f(x) <0$ pour $x \in ]-\infty[; -6[$.
143
144 $f(x) = 0$ pour $x \in \{-6; 1 \}$}
145 \bareme{1,5}
146 \item Représenter dans le repère ci-dessous un graphe possible pour $f$. \bareme{1}
147
148 \corrige
149 \includegraphics[width=10cm]{repere_sol.pdf}
150 \else
151 \includegraphics[width=15cm]{repere.pdf}
152 \fi
153
154 \end{enumerate}
155
156 \section{Statistiques (3)}
157 Suite à un devoir de mathématique dans une classe, le professeur réalise le diagramme en boîte ci-dessous avec les notes obtenues par les élèves :
158
159 \includegraphics[width=10cm]{exostats.pdf}
160
161 % min = 4 Q1 = 9 Me = 11 Q3 = 12 Max = 20
162
163 \begin{enumerate}
164
165 \item Quelle est la médiane de la classe ?\bareme{0,5} \reponse{Me $=11$}
166 \item Quelle est l'étendue des notes ? \bareme{0,5} \reponse{L'étendue est $19-4 = 15$}
167 \item Quel est l'écart interquartile ? \bareme{0,5} \reponse{L'écart interquartile est $12-9 = 3$}
168 \item Quel pourcentage d'élèves, environ, a une note se situant entre 9 et 12 ? \bareme{0,5} \reponse{Environ $50 ~\%$ des élèves ont une note entre 9 et 12 (rappel : on sait qu'environ 50 \% des effectifs se situent dans l'intervalle interquartile).}
169 \item Est-il possible que la moyenne soit égale à 15 ? Argumenter. \bareme{1} \reponse{Ce n'est pas possible, la moyenne ne peut pas être aussi élevée. En effet, si on regarde les quartiles, au mieux un quart des élèves a eu 19, un quart des élèves a eu 12, un quart a eu 11, et un quart a eu 9 (en fait, il y a forcément un élève qui a eu 4, donc ce n'est qu'une estimation supérieure.
170
171 Cela fait donc une moyenne qui est au plus $19 \times \frac{1}{4} + 12 \times \frac{1}{4} + 11 \times \frac{1}{4} + 9 \times \frac{1}{4} = 12,75$. Donc la moyenne est strictement plus petite que cette valeur, et ne peut pas être égale à $15$.}
172
173 \end{enumerate}
174
175
176
177 \section{Bonus}
178 %\emph{Dans cet exercice, toute recherche sera valorisée.}
179
180 On considère une pyramide régulière à base carrée. Le côté du carré mesure 1, et sa hauteur mesure également~1. Quelle est l'aire de cette pyramide ?
181
182 \reponse{$\sqrt 5 + 1 \simeq 3,24$}
183
184 \end{document}