corrigés DMs (hors ligne)
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1 \input{../../header.tex}
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3 %\corrigetrue
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5 %\newcommand\boldmath{}
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7 \title{\vspace{-2cm}Classe de 2nde 6 -- Devoir Maison numéro 7}
8 \date{\vspace{-1.5cm}\dateoucorr{Pour le 12 mai}}
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10 \begin{document}
11 \maketitle
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13 \nomprenom
14
15 \chapoDM
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17 \bigskip
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19 Choisir \souligne{\bf un sujet au choix} parmi les deux proposés.
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21 \section{Inéquation}
22 On souhaite résoudre l'inéquation suivante : \begin{equation}\label{1} \frac{x^2-3}{-x+3} \leq - 1 \end{equation}
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24 \begin{enumerate}
25 \item Tracer (à l'aide de geogebra, ou un autre logiciel, au pire à la main soigneusement) la courbe de $f$ définie par $f(x) = \frac{x^2-3}{-x+3}$ et en déduire, graphiquement, la solution de cette inéquation.
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27 \reponse{À première vue, on lit la solution de l'inéquation $\Sol = [-1; 1]$, mais lorsqu'on \og zoome \fg en arrière, on constate qu'il y a un autre morceau de courbe plus bas. Ainsi \cadrem{\Sol = [-1; 1] \cup ]3; +\infty [}}
28
29 \item En regroupant les termes de l'inéquation, en réduisant au même dénominateur, et en factorisant le numérateur, montrer que l'inéquation~\eqref{1} est équivalente à
30 \[
31 \frac{x(x-1)}{-x + 3} \leq 0
32 \]
33
34 \reponse{
35 \begin{eqnarray*}
36 \eqref{1} & \equi & \frac{x^2-3}{-x+3} \leq - 1 \\
37 & \equi & \frac{x^2-3}{-x+3} +1 \leq 0 \\
38 & \equi & \frac{x^2-3}{-x+3} +\frac{-x + 3}{-x + 3} \leq 0 \\
39 & \equi & \frac{x^2 - 3 - x + 3}{-x + 3} \leq 0 \\
40 & \equi & \frac{x^2 - x}{-x + 3} \leq 0\\
41 & \equi & \frac{x(x-1)}{-x + 3} \leq 0
42 \end{eqnarray*}
43 }
44 \item Dresser le tableau de signe du membre de gauche. \emph{Ce tableau de signe n'est pas plus compliqué à réaliser que ce qui a été vu : étudier le signe de chaque \og élément \fg, et regrouper les trois éléments dans un tableau. Attention à la valeur interdite !}
45 \reponse{
46 Pour $x$ : $\frac{-b}{a} = 0$
47
48 Pour $x-1$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{1} = 1$
49
50 Pour $-x + 3$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-3}{-1} = 3$
51
52 \variations
53 x & \mI & & 0 & & 1 & & 3 & & \pI \\
54 x & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
55 x-1 & \ga- & \l & - & \z & - & \l & \dr+ \\
56 -x + 3 & \ga+ & \l & + & \l & + & \z & \dr- \\
57 \frac{x(x-1)}{-x + 3} & \\ga+ & \z & - & \z & + & \bb & \dr- \\
58 \fin
59 }
60
61 \item En déduire la solution de l'inéquation~\eqref{1}.\reponse{On lit dans le tableau de signe que la solution de l'inéquation est \cadrem{\Sol = [0; 1] \cup ]3; +\infty[}. Comme cette inéquation est équivalente à \eqref{1}, c'est la solution de l'inéquation de départ.
62 }
63 \end{enumerate}
64
65
66 \section{L'adresse secrète}
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68 Un trésor est caché dans le repaire d'un mystérieux inconnu, qui vous dit ces mots :
69
70 \og J'habite rue de la poudre d'escampette. L'un de mes enfants
71 est âgé de 4 fois le numéro de mon repaire moins 1 et l'autre est âgé de ce numéro moins 3. De plus, si je ajoute 5 fois
72 le numéro de mon repaire au produit des âges de mes enfants, je trouve un nombre négatif. \fg
73
74 \begin{enumerate}
75 \item Si $x$ est le numéro du repaire, que vaut le produit des âges des enfants de l'inconnu ?
76 \item Quelle inéquation est vérifiée par ce numéro ?
77 \item Conjecturer l'adresse du repaire secret à l'aide de geogebra (ou autre logiciel).
78 \item Montrer que $4x^2 - 8x + 3 = ( 2x - 1 )( 2x - 3 )$
79 \item À l'aide de la question précédente et d'un tableau de signe, en déduire l'adresse du repaire secret.
80 \end{enumerate}
81
82 \end{document}