probas 1ere
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3 \title{\vspace{-1cm}Chapitre 5 -- Probabilités \vspace{-1.5cm}}
4 \date{}
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6 \begin{document}
7 \maketitle
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9 \section{Variable aléatoire}
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11 \subsection{Variable aléatoire et événements}
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13 \begin{defn}
14 $E$ est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire, appelé univers (il est parfois noté $\Omega$).
15 Définir une \souligne{variable aléatoire} $X$ sur $E$, c'est associer à chaque issue de $E$ un nombre réel.
16 \end{defn}
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18 \bigskip
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20 Exemple~: On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
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22 $E$ = \dotfill
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27 On invente un jeu~: si le 1 sort, on gagne 5 \eur. Si le 2 ou le 3 sort, on gagne 2 \eur. Sinon, on perd 1 \eur.\\
28 Cela définit une variable aléatoire $X$ sur $E$ de la façon suivante~:\\
29 à 1 on associe le réel \ldots\ldots,\\
30 à 2 on associe le réel \ldots\ldots,\\
31 à 6 on associe le réel \ldots\ldots, etc.
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33 L'ensemble des valeurs prises par $X$ est $E' = $\dotfill
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38 \begin{rappel}
39 Un \souligne{événement} est un sous-ensemble de l'univers $E$.
40 \end{rappel}
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42 \begin{defn}
43 Si $X$ est une variable aléatoire sur $E$, et $x_i$ un réel de $E'$, on peut définir des événements~:
44 \begin{itemize2}
45 \item \og $X = x_i$ \fg : \dotfill
46 \lignepoint
47 \item \og $X \geq x_i$ \fg : \dotfill \lignepoint
48 \end{itemize2}
49 \end{defn}
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54 Exemple~: dans l'exemple plus haut, \\
55 l'événement \og $X = 2$ \fg \dotfill \\
56 l'événement \og $X \geq 0$ \fg \dotfill \\
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58 \bigskip
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61 \subsection{Loi de probabilité d'une variable aléatoire}
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63 \begin{defn}
64 Soit $X$ une variable aléatoire définie sur l'ensemble fini $E$, et $E'$ est l'ensemble des valeurs prises par $X$.
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66 La \souligne{loi de probabilité} de la variable aléatoire $X$ est la donnée de toutes les probabilités $P(X = x_i)$, où $x_i$ prend toutes les valeurs de $E'$.
67 \end{defn}
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72 On présente généralement la loi de probabilité sous la forme d'un tableau~:
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74 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
75 \hline
76 $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & \ldots &$ x_r$ \\
77 \hline
78 $P(X = x_i)$ & $p_1$ & $p_2$ & \ldots & $p_r$ \\
79 \hline
80 \end{tabular}
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82 \bigskip
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85 Exemple~: dans l'exemple, si le dé est équilibré, la loi de probabilité est~:
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87 \begin{tabular}{|p{2cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
88 \hline
89 $x_i$ & $-1$ & $2$ &$5$ \\
90 \hline
91 $P(X = x_i)$ & \vspace{1cm} & & \\
92 \hline
93 \end{tabular}
94
95 \end{document}