corrigés DMs (hors ligne)
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4 \title{\vspace{-2cm}Classe de 1ere ES1 -- Devoir Maison numéro 6}
5 \date{\vspace{-1.5cm}\dateoucorr{Pour le 10 mars}}
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7 \begin{document}
8 \maketitle
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10 \nomprenom
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12 \chapoDM
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14 \section*{Approximation de l'inverse}
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16 \begin{enumerate}
17 \item Soit $f$ la fonction définie sur $[-0,5; 2]$ par $f(x) = \frac{1}{1+x}$ et $\C$ sa représentation graphique.
18 \begin{enumerate}
19 \item Déterminer une équation de la tangente $T$ au point $A$ d'abscisse $0$.
20 \reponse{On commence par calculer la fonction dérivée :
21 \[f(x) = \frac{1}{1+x} \]
22 Il y a une valeur interdite en $x=-1$ mais comme on la considère sur $[-0,5; 2]$ on n'a pas de problème de valeur interdite.
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24 $f$ est de la forme \og 1/v \fg avec $v(x) = 1+x$, $v'(x) = 1$.
25 \[ f'(x) = - \frac{v'(x)}{v(x)^2} = - \frac{1}{(1+x)^2}\]
26
27 Le nombre dérivé en $0$ est donc $f'(0) = - \frac{1}{(1+x)^2} = -1$
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29 On a $f(0) = 1$, donc l'équation de la tangente est
30 \[ y = f'(0)x - 0\times f'(0) + f(0) = -x + 1 \]
31 }
32 \item Tracer, à l'aide d'un logiciel (geogebra par exemple) $\C$ et $T$ (dans l'intervalle voulu).
33 \reponse{
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35 \includegraphics[width=5cm]{courbetangente.pdf}
36 }
37 \item On pose \[ d(x) = f(x) - (1-x) = \frac{1}{1+x} - (1-x) \]
38 Interpréter graphiquement le nombre $d(x)$, à l'aide (éventuellement) du graphique.
39 \reponse{$d(x)$ représente l'écart entre la courbe de $f$ et sa tangente $T$.
40 }
41 \item Calculer $d(x)$ pour $x=1$, $x=0,1$, $x=0,001$, $x=0,00001$.
42 \reponse{
43 \[d(1) = 0,5 \]
44 \[d(0,1) \simeq 0.0091 \]
45 \[d(0,001) \simeq 1 \times 10^{-6}\]
46 \[d(0,00001) \simeq 1 \times 10^{-10}\]
47 }
48 \item Expliquer pourquoi $\frac{1}{1+x}$ est voisin de $1-x$ quand $x$ se rapproche de $0$.
49 \reponse{Lorsque $x$ se rapproche de $0$, la courbe est presque confondue avec sa tangente, donc c'est normal de voir très peu de différence entre $\frac{1}{1+x}$ et $1-x$.
50
51 }
52 \end{enumerate}
53 \item Un article vaut $\ueur{70}$ après augmentation de \upc{15}.
54 \begin{enumerate}
55 \item Déterminer le prix \rouge{$P$} de cet article avant augmentation.
56 \reponse{On a
57 \[ P \times 1,15 = 70 \equi P = \frac{70}{1,15} \simeq \ueur{60,87}\]}
58 \item Quel est l'écart entre $d$ et le résultat obtenu si on commet l'erreur de multiplier $70$ par $1 - \frac{15}{100}$ ?
59 \reponse{On obtiendrait un prix :
60 \[ P' = 70 \times (1-\frac{15}{100}) = \ueur{59,5}\]
61
62 La différence serait donc
63 \[ d = P - P' = \ueur{1,37} \]
64 }
65 \item Que dire si, au lieu de $\upc{15}$ on avait une augmentation de \upc{x}, avec $x$ \og très petit \fg ?
66 \reponse{La différence de prix se calculerait de la même manière, avec $x$ à la place de $15$ :
67 \begin{eqnarray*}
68 d & = & P - P' \\
69 & = & \frac{70}{1+x} - 70(1-x)\\
70 & = & 70(\frac{1}{1+x} - (1-x))
71 \end{eqnarray*}
72 Or on a vu dans les questions précédentes que cette quantité était très proche de $0$ lorsque $x$ était proche de $0$ : l'écart de prix serait quasiment négligeable.
73
74
75 Remarque : c'est une des raisons pour lesquelles beaucoup de gens se trompent sur les pourcentages : l'opération inverse d'ajouter \upc{x} n'est pas de retirer \upc{x}. Pour des valeurs faibles de $x$, c'est très proche (ce qui entretient la confusion), mais pas pour des valeurs plus grandes...
76 }
77 \end{enumerate}
78 \end{enumerate}
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80
81 \end{document}
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