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[perso/Denise/lycee/2015-2016.git] / 1ere / DM_7 / dm7.tex
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4 \title{\vspace{-2cm}Classe de 1ere ES1 -- Devoir Maison numéro 6}
5 \date{\vspace{-1.5cm}\dateoucorr{Pour le 10 mars}}
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7 \begin{document}
8 \maketitle
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10 \nomprenom
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12 \chapoDM
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14 \section*{Approximation de l'inverse}
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16 \begin{enumerate}
17 \item Soit $f$ la fonction définie sur $[-0,5; 2]$ par $f(x) = \frac{1}{1+x}$ et $\C$ sa représentation graphique.
18 \begin{enumerate}
19 \item Déterminer une équation de la tangente $T$ au point $A$ d'abscisse $0$.
20 \reponse{On commence par calculer la fonction dérivée :
21 \[f(x) = \frac{1}{1+x} \]
22 Il y a une valeur interdite en $x=-1$ mais comme on la considère sur $[-0,5; 2]$ on n'a pas de problème de valeur interdite.
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24 $f$ est de la forme \og 1/v \fg avec $v(x) = 1+x$, $v'(x) = 1$.
25 \[ f'(x) = - \frac{u'(x)}{u(x)^2} = - \frac{1}{(1+x)^2}\]
26
27 Le nombre dérivé en $0$ est donc $f'(0) = - \frac{1}{(1+x)^2} = -1$
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29 On a $f(0) = 1$, donc l'équation de la tangente est
30 \[ y = f'(0)x - 0\times f'(0) + f(0) = -x + 1 \]
31 }
32 \item Tracer, à l'aide d'un logiciel (geogebra par exemple) $\C$ et $T$ (dans l'intervalle voulu).
33 \reponse{
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35 \includegraphics[width=5cm]{courbetangente.pdf}
36 }
37 \item On pose \[ d(x) = f(x) - (1-x) = \frac{1}{1+x} - (1-x) \]
38 Interpréter graphiquement le nombre $d(x)$, à l'aide (éventuellement) du graphique.
39 \item Calculer $d(x)$ pour $x=1$, $x=0,1$, $x=0,001$, $x=0,00001$.
40 \item Expliquer pourquoi $\frac{1}{1+x}$ est voisin de $1-x$ quand $x$ se rapproche de $0$.
41 \end{enumerate}
42 \item Un article vaut $\ueur{70}$ après augmentation de \upc{15}.
43 \begin{enumerate}
44 \item Déterminer le prix $d$ de cet article avant augmentation.
45 \item Quel est l'écart entre $d$ et le résultat obtenu si on commet l'erreur de multiplier $70$ par $1 - \frac{15}{100}$ ?
46 \item Que dire si, au lieu de $\upc{15}$ on avait une augmentation de \upc{x}, avec $x$ \og très petit \fg ?
47 \end{enumerate}
48 \end{enumerate}
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51 \end{document}
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