chapitres 1ere et 2nde
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6c25d74a
DL
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2
3\title{\vspace{-1cm}Chapitre 10 -- Vecteurs \vspace{-1.5cm}}
4\date{}
5
6\begin{document}
7\maketitle
8
9\section{Notion de vecteur}
10
11\begin{defn} $A$ et $B$ désignent deux points du plan. La \souligne{translation} qui transforme $A$ en $B$ associe à tout point $M$ du plan l'unique point $P$ tel que \dotfill
12
13\smallskip
14\lignepoint
15\lignepoint
16\end{defn}
17
18Exemple :
19\vspace{3cm}
20
21\begin{defn}[vecteur]
22La translation qui tranforme $A$ en $B$ est appelée \dotfill
23\end{defn}
24\vspace{2cm}
25
26Vocabulaire :
27\begin{itemize2}
28\item On dit que le vecteur $\ve{AB}$ a pour \souligne{origine} \ldots \ldots et pour \souligne{extrémité} \ldots\ldots
29\item La translation de vecteur $\ve{AA}$ \dotfill \lignepoint
30\item La translation de vecteur $\ve{BA}$ \dotfill
31\lignepoint \lignepoint
32\end{itemize2}
33\vspace{1cm}
34
35\begin{defn}[Vecteurs égaux]
36Dire que deux vecteurs $\ve{AB}$ et $\ve{CD}$ sont égaux signifie \dotfill
37\lignepoint
38
39On note alors \dotfill
40\end{defn}
41
42\begin{prop}(admise)
43Deux vecteurs $\ve{AB}$ et $\ve{CD}$ sont égaux si et seulement si \dotfill
44\lignepoint
45\end{prop}
46Exemple :
47
48\vspace{3cm}
49
50\lignepoint \lignepoint \lignepoint
51
716d159a
DT
52\newpage
53
54\begin{thm}
55Soient trois point $A$, $B$ et $I$. On a $\ve{AI} = \ve{IB}$ si et seulement si
56\end{thm}
57
58\vspace{2cm}
59
60
61
62\subsection{Coordonnées d'un vecteur}
63On se place dans un repère $(O; I; J)$.
64
65\begin{defn}
66Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ deux points. Le vecteur $\ve{AB}$ a pour coordonnées
67
68\vspace{1cm}
69\end{defn}
70
71\begin{minipage}{11cm}
72Exemple : $A(1; 4)$ et $B(5; 2)$. Les coordonnées du vecteur $\ve{AB}$ sont
73
74\vspace{2.5cm}
75\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}
76\includegraphics[width=5cm]{repere.pdf}
77\end{minipage}
78
79\begin{thm}
80Deux vecteurs sont égaux si et seulement si \dotfill \lignepoint
81\end{thm}
82
83\begin{minipage}{11cm}
84Exemple : $A(1; 4)$, $B(5; 2)$, $C(-1; 3)$ et $D(3; 1)$.
85
86
87\vspace{2.5cm}
88\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}
89\includegraphics[width=5cm]{repere.pdf}
90\end{minipage}
91
92Remarque : on peut appeler $\ve{i}$ le vecteur $\ve{OI}$ et $\ve{j}$ le vecteur $\ve{OJ}$. Le repère peut être noté \dotfill
93
94\section{Somme de vecteurs}
95\begin{defn}
96Soient $\vu$ et $\vv$ deux vecteurs. La somme des deux vecteurs $\vu + \vv$ \dotfill
97
98\lignepoint
99
100\lignepoint
101\end{defn}
102
103
104\vspace{2cm}
105
106\begin{prop}[Relation de Chasles]
107Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ du plan, on a
108
109\vspace{2cm}
110
111\end{prop}
112
0a6a02bc
DT
113\newpage
114
115\begin{prop}[Règle du parallélogramme]
116$A$, $B$, $C$ et $D$ sont des points du plan. On a $\ve{AB} + \ve{AC} = \ve{AD}$ si et seulement si \dotfill
117
118\vspace{1.5cm}
119\end{prop}
120\begin{proof}~\\
121Si $\ve{AB} + \ve{AC} = \ve{AD}$, alors\\
122$\ve{AB} + \ve{AC} = \ve{A\ldots} + \ve{\ldots D}$ (par la relation de Chasles)\\
123donc \ldots \ldots = \ldots \ldots \\
124donc \dotfill
125
126\bigskip
127\noindent Réciproquement, si \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots, alors\\
128\ldots \ldots = \ldots \ldots \vspace{0.3cm}\\
129\vspace{0.3cm}
130\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
131\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
132\end{proof}
133
134\bigskip
135
136\begin{thm}
137Le plan est muni d'un repère $(O; \vi; \vj)$. Soient $\vu(x_u; y_u)$ et $\vv(x_v; y_v)$. La somme des deux vecteurs $\vu$ et $\vv$ a pour coordonnées
138
139\vspace{1.5cm}
140\end{thm}
141
142Exemple : $\vu(2; -5)$ et $\vv(3; 8)$. $\vw = \vu + \vv$ a pour coordonnées \dotfill
143
144\bigskip
145
146\begin{props}
147Pour tous vecteurs $\vu, \vv, \vw$,
148\begin{itemize2}
149\item $\vu + \vv = \vv + \vu$
150\item $\vu + \ve{0} = \ve{0} + \vu = \vu$
151\item $(\vu + \vv) + \vw = \vu + (\vv + \vw)$
152\end{itemize2}
153\end{props}
154
155\bigskip
156
157Notation : si $\vu$ est un vecteur, on peut noter son vecteur opposé \ldots \ldots \ldots puisque \ldots \ldots \ldots \ldots
158
159En particulier, $-\ve{AB} = \ldots \ldots \ldots$
160
161
162\section{Produit d'un vecteur par un nombre réel}
163
164\begin{defn}
165Soit $\vu(x; y)$ dans un repère $(0; \vi; \vj)$. Le produit du vecteur $\vu$ par le réel $k$ est le vecteur $k\vu$ de coordonnées
166
167\vspace{1cm}
168\end{defn}
169
e455e186
DL
170\bigskip
171
172Exemple :
173
174\begin{minipage}{9cm}
175 $\vu(3; -1)$
176
177\bigskip
178
179$\vv = 2\vu$
0a6a02bc 180
e455e186 181\bigskip
6c25d74a 182
e455e186
DL
183$\vw = -1,5 \vu$
184
185\end{minipage}\begin{minipage}{7cm}
186\includegraphics[width=7cm]{grille.png}
187\end{minipage}
0d944bfc
DL
188\newpage
189
190\begin{prop}
191Pour tous vecteurs $\vu$, $\vv$ et tous nombres réels $k$ et $k'$ :
192\begin{itemize2}
193\item $(k+k')\vu = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $
194\item $k(\vu + \vv) = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
195\item $k(k'\vu) = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
196\end{itemize2}
197\end{prop}
198
199\smallskip
200
201Exemples :
202\[-2(7\vu -4\vu) + 5\vu = \hspace{10cm} \]
203\[\ve{AB} + 3(\ve{BA} + 7CD) = \hspace{10cm} \]
204
205\bigskip
206
207\begin{defn}
208Deux vecteurs $\vu$ et $\vv$ sont dits \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots s'il existe un réel $k$ tel que $\vv = k\vu$ ou un réel $k'$ tel que $\vu = k\vv$.
209\end{defn}
210
211\bigskip
212
213Remarque : $0 \times \vu = $\dotfill
214
215\bigskip
216
217Exemple :
218$\vu(-4; 1)$ et $\vv\left(2; -\frac{1}{2}\right)$ \dotfill
219
220\smallskip
221
222\lignepoint
223
224\smallskip
225
226\lignepoint
227
228\smallskip
229
230\lignepoint
231\bigskip
232
233\begin{thm}
234Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si
235\lignepoint
236\end{thm}
237
238\bigskip
239
240Exemple : $A(-2; 3)$, $B(1, 1)$ et $C(2; 2)$ sont-ils alignés ?
241
242\begin{minipage}{10cm}
243\lignepoint
244\lignepoint
245\lignepoint
246\lignepoint
247\lignepoint
248\lignepoint
249\end{minipage}\begin{minipage}{7cm}
250\includegraphics[width=7cm]{grille.png}
251\end{minipage}
252
253\bigskip
254
255\begin{thm}
256Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points du plan, deux à deux distincts. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si \dotfill
257\end{thm}
258
259\bigskip
260
261Exemple : Aux points de l'exemple précédent, on rajoute $D\left( \frac{13}{2}; -1 \right)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
262
263\begin{minipage}{10cm}
264\lignepoint
265\lignepoint
266\lignepoint
267\lignepoint
268\lignepoint
269\lignepoint
270\end{minipage}\begin{minipage}{7cm}
271\includegraphics[width=7cm]{grille.png}
272\end{minipage}
273
274%%
6c25d74a 275\end{document}