dst corrigé
[perso/Denise/lycee/2015-2016.git] / 2nde / DST_8 / dst8.tex
CommitLineData
b7104a8d
DT
1\input{../../header.tex}
2
3\title{\vspace{-1.5cm}Devoir sur table numéro 8 -- classe de 2nde 6 \vspace{-1.5cm}}
bbea5075 4\date{\dateoucorr{27/05/2016} -- Sujet \version{A}{B}}
b7104a8d
DT
5
6\begin{document}
7
8\maketitle
9\nomprenom
10%\bigskip
11
12\chapoDST{Inéquations
13
14\bigskip
15
16Vecteurs
17
18\bigskip
19
bbea5075
DL
20Fonctions
21
22\bigskip
23
b7104a8d
DT
24Géométrie dans l'espace
25
26\bigskip
27}
28
f5b4bb32 29\section{Inéquations (5,5)}
b7104a8d 30
f5b4bb32
DT
31\begin{enumerate}
32\item $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sont trois expressions dont on donne les tableaux de signe :
33
bbea5075 34\begin{minipage}{0.4\textwidth}
f5b4bb32
DT
35\variations
36x & \mI & & -1 & & \pI \\
37A(x) & \ga- & \z & \dr+ \\
38\fin
39\end{minipage}
bbea5075
DL
40\begin{minipage}{0.4\textwidth}
41\variations
f5b4bb32
DT
42x & \mI & & \frac{3}{2} & & \pI \\
43B(x) & \ga+ & \z & \dr- \\
44\fin
45\end{minipage}
bbea5075
DL
46
47%\begin{minipage}{0.3\textwidth}
48\variations
f5b4bb32 49x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
bbea5075 50C(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
f5b4bb32 51\fin
bbea5075 52%\end{minipage}
f5b4bb32
DT
53
54En utilisant ces tableaux de signe, dresser les tableaux de signe des expressions suivantes :
55\begin{enumerate}
dfb66155
DL
56\item \version{$A(x)B(x)$}{$A(x)C(x)$} \bareme{0.75} \corrigeab{
57
58\variations
59x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
60A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
61B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
62A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
63\fin
64}{
65
66\variations
67x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
68A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
69C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
70A(x)C(x) & \ga+ & \z & - & \z & + & \z & \dr+\\
71\fin
72
73}
b5a8dc97 74\item \version{$B(x)C(x)$}{$A(x)B(x)$} \bareme{0.75}
dfb66155
DL
75\corrigeab{
76
77\variations
78x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
79B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
80C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
81B(x)C(x) & \ga- & \z & + & \z & - & \z & \dr+ \\
82\fin
83}{
84
85\variations
86x & \mI & & -1 & & 3/2 & & \pI \\
87A(x) & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
88B(x) & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
89A(x)B(x) & \ga- & \z & + & \z & - \\
90\fin
91}
bbea5075 92\item $\frac{\version{A(x)}{B(x)}}{C(x)}$ \bareme{1}
dfb66155
DL
93\corrigeab{
94
95\variations
96x & \mI & & -1 & & 2 & & 3 & & \pI \\
97A(x) & \ga- & \z & + & \l & + & \l & \dr+ \\
98C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
99\frac{A(x)}{C(x)} & \ga+ & \z & - & \bb & + & \bb & \dr+\\
100\fin
101}{
102
103\variations
104x & \mI & & 3/2 & & 2 & & 3 & & \pI \\
105B(x) & \ga+ & \z & - & \l & - & \l & \dr- \\
106C(x) & \ga- & \l & - & \z & + & \z & \dr-\\
107\frac{B(x)}{C(x)} & \ga- & \z & + & \bb & - & \bb & \dr+ \\
108\fin
109}
110
f5b4bb32
DT
111\end{enumerate}
112
b5a8dc97 113\item $f$ est la fonction définie par $f(x) = \version{(x-1)(-2x-1)}{(x-2)(-3x + 9)}$. Résoudre l'inéquation $f(x) <0$.\bareme{1,5}
dfb66155
DL
114\reponse{
115
116Pour $\version{x-1}{x-2}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{1} = 1 }{ \frac{-(-2))}{1} = 2 }$.
117
118Pour $\version{-2x-1}{-3x+9}$ : $\frac{-b}{a} = \version{ \frac{-(-1)}{-2} = -\frac{1}{2} }{ \frac{-9}{-3} = 3 }$.
119
120\version{
121\variations
122x & \mI & & -1/2 & & 1 & & \pI \\
123x-1 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
124-2x-1 & \ga+ & \z & - & \l & \dr- \\
125f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
126\fin
127
128\cadrem{\Sol = \left]-\infty; -\frac{1}{2} \right[ \cup ] 1; +\infty[}
129}
130{
131\variations
132x & \mI & & 2 & & 3 & & \pI \\
133x-2 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
134-3x + 9 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
135f(x) & \ga- & \z & + & \z & \dr- \\
136\fin
137
138\cadrem{\Sol = ]-\infty; 2[ \cup ] 3; +\infty[ }
139
140}
141}
bbea5075 142\item $g$ est la fonction définie par $g(x) = \version{\frac{2x-7}{-5x + 10}}{\frac{-5x+10}{2x-1}}$. Résoudre l'inéquation $g(x) \geq 0$ et déterminer la ou les valeurs interdites. \bareme{1,5}
dfb66155
DL
143\corrigeab{
144
145Pour $2x-7$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-7)}{2} = \frac{7}{2}$.
146
147Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
148
149\variations
150x & \mI & & 2 & & 7/2 & & \pI \\
1512x-7 & \ga- & \l & - & \z & \dr+ \\
152-5x+10 & \ga+ & \z & - & \z & \dr- \\
153g(x) & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
154\fin
155
156Valeur interdite : $x=2$
157
158\cadrem{\Sol = \left] 2 ; \frac{7}{2} \right]}
159}{
160
161Pour $-5x+10$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-10}{-5} = 2$
162
163Pour $2x-1$ : $\frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$
164
165\variations
166x & \mI & & 1/2 & & 2 & & \pI \\
167-5x + 10 & \ga+ & \l & + & \z & \dr- \\
1682x-1 & \ga- & \z & + & \l & \dr+ \\
169g(x) & \ga- & \bb & + & \z & \dr- \\
170\fin
171
172Valeur interdite : $x=1/2$
173
174\cadrem{\Sol = \left] \frac{1}{2} ; 2 \right]}
175}
176
f5b4bb32
DT
177
178\end{enumerate}
179
b5a8dc97 180\section{Vecteurs (7)}
f5b4bb32
DT
181\begin{enumerate}
182\item Vecteurs et coordonnées :
183\begin{enumerate}
bbea5075 184\item Dans un repère, on a $\vu(3; -2)$ et $\vv(5; 2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $2\vu - \vv$.\bareme{0,5} % 1; -6
dfb66155
DL
185\reponse{
186
187\[2\vu - \vv (2 \times 3 - 5; 2 \times (-2) - 2) = (1; -6) \]}
bbea5075 188\item Montrer que ce vecteur est colinéaire au vecteur $\vw \left( \version{-\frac{1}{3} ; 2}{-\frac{1}{2}; 3} \right)$.\bareme{0,5}
dfb66155
DL
189\reponse{On calcule le produit en croix :
190
191\version{
192\[1 \times 2 = 2 \]
193\[- \frac{1}{3} \times (-6) = 2 \]
194}{
195\[ 1 \times 3 = 3 \]
196\[ -\frac{1}{2} \times (-6) = 3 \]
197}
198Les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs sont colinéaires.
199}
f5b4bb32 200\end{enumerate}
b5a8dc97 201\item Relation de Chasles : simplifier au maximum les sommes et produits suivants : \bareme{0,5 chq}
f5b4bb32 202\begin{enumerate}
dfb66155
DL
203 \item \version{$\ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC}$}{ $\ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD}$ } \corrigeab
204{\[ \ve{CH} + \ve{AB} +\ve{BC} = \ve{CH} + \ve{AC} = \ve{AC} + \ve{CH} = \ve{AH}\]}
205{\[ \ve{DH} + \ve{AB} + \ve{BD} = \ve{DH} + \ve{AD} = \ve{AD} + \ve{DH} = \ve{AH} \]}
206 \item \version{ $\ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) $}{ $ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} )$ } \corrigeab{
207\[ \ve{MT} - 2(\ve{MG} - \ve{TG}) = \ve{MT} -2(\ve{MG} + \ve{GT}) = \ve{MT} -2\ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM} \]}
208{\[ \ve{MT} - 2(\ve{MA} - \ve{TA} ) = \ve{MT} - 2(\ve{MA} + \ve{AT}) = \ve{MT} -2 \ve{MT} = -\ve{MT} = \ve{TM} \]}
f5b4bb32 209\end{enumerate}
bbea5075
DL
210\item On a \version{$P(-1; 1)$, $A(2; 2)$, $R(6; 0)$, $L(3; -1)$}{ $P(-2; 2)$, $A(1; 3)$, $R(5; 1)$, $L(2; 0)$ }
211\begin{enumerate}
dfb66155
DL
212 \item Montrer que $PARL$ est un parallélogramme. \bareme{1}\reponse{
213\[\ve{PA} \version{ (2-(-1); 2-1) = (3; 1) }{ (1-(-2); 3-2) = (3; 1) } \]
214\[\ve{LR} \version{ (6-3 ; 0-(-1)) ) }{ (5-2 ; 1-0) } = (3; 1) \]
215On a $\ve{PA} = \ve{LR}$ donc $PARL$ est un parallélogramme.
216
217Remarque : on peut aussi vérifier $\ve{PL} = \ve{AR}$ par exemple.
218}
bbea5075 219 \item \version{$U(1, -3)$}{$U(0; -2)$}. Trouver les coordonnées de $M$ telles que $PLUM$ soit un parallélogramme. \bareme{1}
dfb66155
DL
220\reponse{
221\[ \ve{PL} = \version{ (3-(-1); -1-1) }{ (2-(-2); 0-2) } = (4; -2)\]
222\[ \ve{MU} = \version{ (1 - x_M ; -3 -y_M) }{ (0-x_M ; -2 - y_M) } \]
223$PLUM$ est un parallélogramme $\equi \ve{PL} = \ve{MU}$, ce qui donne :
224\[ \version{1-x_M}{0-x_M} = 4 \equi \version{x_M = -3}{x_M = -4}\]
225\[ \version{-3-y_M }{-2-y_M} = -2 \equi \version{y_M = -1}{y_M = 0} \]
226
227Donc \cadrem{M(\version{-3; -1}{-4; 0})}.
228}
bbea5075 229 \item Que dire du quadrilatère $MARU$ ? Justifier. \bareme{1}
dfb66155
DL
230\reponse{$PARL$ est un parallélogramme, donc $\ve{AR} = \ve{PL}$.
231On a aussi $\ve{PL} = \ve{MU}$ (puisque $PLUM$ est un parallélogramme, mais on l'a déjà dit dans la question précédente).
232On a donc $\ve{AR} = \ve{MU}$, ce qui signifie que $ARUM$, ou $MARU$ est un parallélogramme.}
bbea5075 233 \item Les points $L$, $U$ et $R$ sont-ils alignés ? Justifier. \bareme{1}
dfb66155
DL
234\reponse{On calcule les coordonnées des vecteurs :
235\[\ve{LU} (\version{1-3 ; -3-(-1)}{ (0-2 ; -2-0) }) = (-2; -2) \]
236\[ \ve{UR} (\version{ 6-1; 0-(-3) }{ (5-1 ; 1-(-2)) }) = (5; 3)\]}
237On calcule le produit en croix :
238\[ -2 \times 3 = -6\]
239\[ -2 \times 5 = -10\]
240Les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $\ve{LU}$ et $\ve{UR}$ ne sont pas colinéaires : $L, U, R$ ne sont pas alignés.
241
bbea5075 242 \item Trouver les coordonnées d'un point $S$, de même abscisse que $L$, tel que $(LU) // (RS)$ \bareme{1}
dfb66155
DL
243\reponse{On cherche $S(\version{3}{2}; a)$, de telle sorte que les vecteurs $\ve{LU}$ et $\ve{RS}$ soient colinéaires.
244\[\ve{LU} (-2; 2) \]
245\[\ve{RS} (\version{3 - 6}{2 - 5}; \version{a-0}{a-1}) = (-3; \version{a}{a-1}) \]
246Avec le produit en croix, on obtient :
247\[\version{-2 \times a = -3 \times 2 \equi a = \frac{-6}{-2} = 3}
248{ -2 \times (a-1) = -3 \times 2 \equi -2a = -6 -2 \equi a = \frac{-8}{-2} = 4}
249\]
250D'où \cadrem{S(\version{3; 3}{2; 4})}
251}
252
bbea5075
DL
253\end{enumerate}
254
255%\item $ABCD$ est un parallélogramme, et $EFCD$ est un parallélogramme. En utilisant des égalités de vecteurs, montrer que $ABFE$ est un parallélogramme. \bareme{1,5} % AB = DC, EF = DC. Donc AB = EF donc ABFE paraléllo.
256
257\end{enumerate}
258
259\section{Fonctions (3,5)}
260$f$ est une fonction dont on donne le tableau de variations :
261
262\begin{minipage}{9cm}
263\variations
264\version{x & -2 & & 3 & & 4 & & 7 \\}
265{x & -4 & & 1 & & 2 & & 4 \\}
266f(x) & \h{4} & \d & \b{-2} & \c & \h{0} & \d & \b{-1} \\
267\fin
268\end{minipage}
269\begin{minipage}{8cm}\includegraphics[width=8cm]{fond_graphe.pdf}\end{minipage}
270
271\begin{enumerate}
272\item Peut-on dire que $f$ est décroissante sur \version{$[-2; 7]$}{$[-4; 4]$} ? Justifier brièvement. \bareme{0.5}
273\item Quel est le maximum de $f$ sur son ensemble de définition, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
274\item Quel est le minimum de $f$ sur $\left[-1; \frac{\version{7}{3}}{2} \right]$, et où est-il atteint ? \bareme{0.5}
275\item On apprend que $f(0) = 0$. Étudier le signe de $f$ (sous forme de tableau ou avec des phrases). \bareme{1}
276\item Dessiner ci-dessus un graphique possible pour $f$. \bareme{1}
f5b4bb32 277
f5b4bb32 278
bbea5075
DL
279\end{enumerate}
280
b7104a8d 281
bbea5075
DL
282\section{Géométrie dans l'espace (4)}
283\begin{minipage}{4.5cm}\includegraphics[width=4cm]{cubex.pdf}\end{minipage}
284\begin{minipage}{12cm}
285$ABCDEFGH$ est un cube de côté \ucm{\version{5}{4}}. On place les points $A'$, $C'$ et $F'$ sur les arêtes $[BA]$, $[BC]$ et $[BF]$, de telle sorte que $[BA'] = [BC'] = [BF'] = \ucm{x}$ (voir la figure). On \og coupe \fg et on enlève le petit tétraèdre $BA'C'F'$, et on s'intéresse à l'\souligne{aire} de la figure restante ($AA'C'CDF'EFGH$), qu'on notera $A(x)$.
b5a8dc97 286\end{minipage}
bbea5075 287\begin{enumerate}
b5a8dc97 288\item Dans quel intervalle peut varier $x$ ? \bareme{0,5}
bbea5075
DL
289\item Calculer l'aire lorsque $x=0$, et $x=\version{5}{4}$.
290
291\emph{Aide : vous pouvez utiliser la propriété suivante : l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $ \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$.} \bareme{1,5}
b5a8dc97
DT
292\reponse{
293La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois triangles rectangles isocèles, plus le triangle $A'C'F'$.
294
295L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
296
297L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = \frac{b \times h}{2} = \frac{\version{5}{4}^2}{2} = \]
298
299L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C' \frac{\sqrt 3}{4}\]
bbea5075 300Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore
b5a8dc97
DT
301}
302\item Montrer que
bbea5075
DL
303\[ A(x) = \version{150}{96} - \frac{3x^2}{2} + \frac{x^2\sqrt 3}{2}\]
304(vous pouvez encore utiliser la formule de l'aire du triangle équilatéral) \bareme{1,5}
b5a8dc97
DT
305\reponse{
306La surface de la figure est composée de 3 carrés \og entiers \fg, trois carrés \og coupés \fg (un triangle rectangle isocèle en moins), plus le triangle $A'C'F'$.
307
308L'aire des trois carrés est égale à \[ A_1 = 3 \times \version{5}{4}^2\]
309
bbea5075 310L'aire des trois carrés coupés est égale à \[ A_2 = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{b \times h}{2} = 3 \version{5}{4}^2 - 3 \frac{x^2}{2} \]
b5a8dc97 311
bbea5075
DL
312L'aire du triangle équilatéral est égale à \[ A_3 = A'C'^2 \frac{\sqrt 3}{4}\]
313Dans le triangle rectangle $A'C'B$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore, $A'C'^2 = A'B^2 + C'B^2 = 2x^2$. D'où $A'C' = x \sqrt{2}$
314Donc \[ A_3 = 2x^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = x^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \]
315
316D'où \[ A(x) = 6 \version{5}{4}^2 - \frac{x^2}{2} (3 - \sqrt 3)\]
b5a8dc97
DT
317
318}
bbea5075
DL
319\item À l'aide de la calculatrice, dresser le tableau de variations de $A$ sur son ensemble de définition. \bareme{0,5}
320\end{enumerate}
321
322
323\section*{Bonus}
324%\emph{Dans cette question, une réponse sans un minimum de justification ne vaudra pas de bonus ! Par contre, une réponse argumentée, même fausse, ou un raisonnement partiel pourra en valoir...}
325
326
327Vous êtes face à deux coffres. Chacun peut contenir un trésor ou un piège mortel (mais il se peut très bien que les deux coffres contiennent un trésor, ou que les deux coffres contiennent un piège). Les inscriptions sur les coffres sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
b5a8dc97 328
bbea5075 329Le premier coffre a pour inscription~: «~Il y a un piège ici, ou un trésor dans l'autre coffre~».
b7104a8d 330
bbea5075 331Le second coffre a pour inscription~: «~Il y a un trésor dans l'autre coffre~».
b7104a8d 332
bbea5075 333\smallskip
b7104a8d 334
bbea5075 335Faut-il ouvrir un coffre (lequel) ? Les deux ? Aucun ?
b7104a8d 336\end{document}