corrigé dst
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CommitLineData
5c635029
DL
1\input{../../header.tex}
2
3\title{\vspace{-1.5cm}Devoir sur table numéro 5 -- classe de 2nde 6 \vspace{-1.5cm}}
4\date{\dateoucorr{29/01/2016}}
5
6\begin{document}
7
8\maketitle
9\nomprenom
10%\bigskip
11
12\chapoDST{Géométrie dans l'espace :
13
14\bigskip
15
d9f6f742
DT
16Fonctions
17
18\bigskip
19
20Stats
21
22\bigskip
5c635029
DL
23
24}
25
26\section{Position relative de plans et de droites (7)}
27
2e2b1ff2 28\begin{wrapfigure}[2]{R}{5cm}
d9f6f742
DT
29\includegraphics[width=5cm]{exo1.pdf}
30\end{wrapfigure}
31
32
33Dans la figure ci-contre, $ABCDEFGH$ est un cube. $M$ est le milieu de $[AD]$, et $N$ est le milieu de $[BC]$.
34
35
5c635029 36\begin{enumerate}
2e2b1ff2 37\item (Sur l'énoncé) : donner, sans justifier
5c635029 38\begin{enumerate}[a)]
2e2b1ff2
DL
39 \item Une droite parallèle à la droite $(BF)$~:
40
41\reponse{$(AE)$, $(DH)$ ou $(CG)$}
42 \item Une droite sécante à la droite $(AC)$~:
43
44\reponse{$(BC)$, $(CG)$, $(EC)$, $(BN)$, \ldots}
45 \item Une droite confondue avec la droite $(BC)$~:
46
47\reponse{$(NB)$ ou $(NC)$}
48 \item Deux droites non coplanaires~:
49
50\reponse{$(AB)$ et $(CG)$, ou $(AF)$ et $(CH)$, \ldots}
51 \item Un plan parallèle au plan $(ADH)$~: \reponse{$(BCG)$, \ldots}
52 \item Un plan sécant au plan $(MNC)$~: \reponse{$(DCH)$, ou $(ABF)$, \ldots}
53 \item Une droite contenue dans le plan $(CBF)$~: \reponse{$(BF)$, $(NC)$ ou $(NG)$, \ldots}
54 \item Une droite sécante au plan $(DCH)$~: \reponse{$(AH)$ ou $(BC)$, \ldots}
5c635029
DL
55\end{enumerate} \bareme{0,5 pt par question, donc 4 points}
56\item Étudier l'intersection des plans $(ABF)$ et $(DCB)$. \bareme{1,5}
57
2e2b1ff2
DL
58\reponse{$B \in (ABF)$ et $B\in (DCB)$.
59
60$A \in (ABF)$ et $A\in (DCB)$ car $ABCD$ est une face du cube.
61
62$F \in(ABF)$ mais $F\not\in (DCB)$, donc les plans ne sont pas confondus.
63
64Les plans $(ABF)$ et $(DCB)$ sont donc sécants en $(AF)$.
65
66}
67
5c635029
DL
68\item Étudier l'intersection de la droite $(MN)$ et du plan $(CGF)$. \bareme{1,5}
69
2e2b1ff2
DL
70\reponse{$N \in (MN)$ et $N \in (CFG)$ car $N$ est sur la droite $(BC)$ qui est inclus dans le plan $(BCGF)$.
71
72De plus, $M \in (MN)$ mais $M \not\in (CFG)$. Donc la droite $(MN)$ n'est pas incluse dans le plan $(CGF)$.
73
74La droite et le plan sont sécants en $N$.}
75
5c635029
DL
76\end{enumerate}
77
78
559749e1 79\section{Parallélisme dans l'espace (5)}
5c635029 80
2e2b1ff2
DL
81\begin{wrapfigure}[4]{r}{5cm}
82\includegraphics[width=5cm]{exo2.pdf}
d9f6f742
DT
83\end{wrapfigure}
84
2e2b1ff2 85Dans la figure ci-contre, $ABCDEF$ est un prisme droit à base triangulaire $(ABC)$. $I$ est le milieu de $ [BC]$, $J$ est le milieu de $[AB]$, et $K$ est un point de l'arête $[DE]$. Le plan $(IJK)$ coupe la droite $(EF)$ en $L$.
d9f6f742
DT
86
87
5c635029
DL
88
89\begin{enumerate}
559749e1 90 \item Montrer que les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles. \bareme{2}
2e2b1ff2
DL
91
92\reponse{On se place dans le plan $(ABC)$. Les points $B$, $I$, $C$ sont alignés dans cet ordre et les points $B$, $J$, $A$ aussi.
93
94$I$ est le milieu de $[BC]$ donc $BI = \frac{BC}{2}$, donc $\frac{BI}{BC} = \frac{1}{2}$.\\
95$J$ est le milieu de $[AB]$ donc $BJ = \frac{AB}{2}$, donc $\frac{BJ}{BA} = \frac{1}{2}$.
96
97On a $\frac{BI}{BC} = \frac{BJ}{BA}$, donc par la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AC)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
98
99Remarque~: on peut aussi utiliser le théorème de la droite des milieux.
100
101
102}
103 \item Montrer que les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont parallèles. \bareme{2} \reponse{
104Les plans $(ABC)$ et $(DEF)$ sont parallèles (car $ABCDEF$ est un prisme droit).
105
106On sait que la droite $(IJ)$ est dans le plan $(ABC)$ et le plan $(IJK)$ donc les plans $(IJK)$ et $(ABC)$ sont sécants en $(IJ)$.
107
108La droite $(KL)$ est l'intersection des plans $(IJK)$ et $(DEF)$.
109
110Donc par la propriété (P5), les droites $(KL)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
111}
112 \item Quelle est la position relative des droites $(DF)$ et $(KL)$~? Justifier. \bareme{1} \reponse{
113On sait que $(DF) // (AC)$, car $DFCA$ est un rectangle.\\
114On a $(AC) // (IJ)$ (montré dans la question 1).\\
115Par (P1), $(DF) // (IJ)$.
116
117On a aussi $(IJ) // (KL)$ d'après la question 2.\\
118Par (P1), encore, $(DF)$ et $(KL)$ sont parallèles.
119
120}
5c635029
DL
121\end{enumerate}
122
559749e1
DT
123\section{Fonctions (5)}
124
125$f$ est une fonction dont on donne le tableau de variation ci-dessous
126
127\variations
128x & \mI & & -4 & & 1 & & 2 \\
129f(x) & \b{~} & \c & \h{1} & \d & \b0 & \c & \h{3} \\
130\fin
131
132\begin{enumerate}
fb49ab0d 133\item Quel est l'ensemble de définition de $f$~?\bareme{0,5} \reponse{$]-\infty; 2]$}
6eb08d99 134\item Quel est le maximum de $f$ sur $[-5; 2]$ et où est-il atteint ? \bareme{0,5} \reponse{Le maximum de $f$ sur $[-5; 2]$ est $3$, atteint en $2$.}
fb49ab0d
DT
135\item Quelqu'un prétend \og $f$ est décroissante sur $]-2; 1[$. \fg. Est-ce juste ? Argumenter. \bareme{0,5} \reponse{$f$ est décroissante sur $[-4; 1]$, donc elle l'est sur un intervalle plus petit : elle est bien décroissante sur $]-2; 1[$.}
136\item Quelqu'un prétend \og Le minimum de $f$ sur son ensemble de définition est $0$, atteint en $1$.\fg. Est-ce juste ? Argumenter. \bareme{1} \reponse{On ne peut pas savoir. En effet, on ne sait pas \og où \fg va la courbe en $-\infty$, elle peut descendre encore (et auquel cas le minimum n'est pas $0$), ou descendre doucement en restant au dessus de $0$.}
2e2b1ff2 137\item On donne maintenant une nouvelle information sur $f$ : $f(-6) = 0$. Étudier le signe de $f$ sur son ensemble de définition.% (rappel : cela signifie indiquer sur quels ensembles $f$ est positive, négative et nulle).
fb49ab0d
DT
138\reponse{
139
140$f(x) >0$ pour $x \in]-6; 1[ \cup ]1; 2[$.
141
142$f(x) <0$ pour $x \in ]-\infty[; -6[$.
143
144$f(x) = 0$ pour $x \in \{-6; 1 \}$}
d9f6f742 145\bareme{1,5}
559749e1
DT
146\item Représenter dans le repère ci-dessous un graphe possible pour $f$. \bareme{1}
147
fb49ab0d
DT
148\corrige
149 \includegraphics[width=10cm]{repere_sol.pdf}
150\else
151 \includegraphics[width=15cm]{repere.pdf}
152\fi
559749e1
DT
153
154\end{enumerate}
155
2e2b1ff2
DL
156\section{Statistiques (3)}
157Suite à un devoir de mathématique dans une classe, le professeur réalise le diagramme en boîte ci-dessous avec les notes obtenues par les élèves :
158
159\includegraphics[width=10cm]{exostats.pdf}
559749e1 160
2e2b1ff2 161% min = 4 Q1 = 9 Me = 11 Q3 = 12 Max = 20
d9f6f742 162
559749e1 163\begin{enumerate}
d9f6f742 164
fb49ab0d
DT
165\item Quelle est la médiane de la classe ?\bareme{0,5} \reponse{Me $=11$}
166\item Quelle est l'étendue des notes ? \bareme{0,5} \reponse{L'étendue est $19-4 = 15$}
167\item Quel est l'écart interquartile ? \bareme{0,5} \reponse{L'écart interquartile est $12-9 = 3$}
168\item Quel pourcentage d'élèves, environ, a une note se situant entre 9 et 12 ? \bareme{0,5} \reponse{Environ $50 ~\%$ des élèves ont une note entre 9 et 12 (rappel : on sait qu'environ 50 \% des effectifs se situent dans l'intervalle interquartile).}
169\item Est-il possible que la moyenne soit égale à 15 ? Argumenter. \bareme{1} \reponse{Ce n'est pas possible, la moyenne ne peut pas être aussi élevée. En effet, si on regarde les quartiles, au mieux un quart des élèves a eu 19, un quart des élèves a eu 12, un quart a eu 11, et un quart a eu 9 (en fait, il y a forcément un élève qui a eu 4, donc ce n'est qu'une estimation supérieure.
170
171Cela fait donc une moyenne qui est au plus $19 \times \frac{1}{4} + 12 \times \frac{1}{4} + 11 \times \frac{1}{4} + 9 \times \frac{1}{4} = 12,75$. Donc la moyenne est strictement plus petite que cette valeur, et ne peut pas être égale à $15$.}
559749e1
DT
172
173\end{enumerate}
174
5c635029
DL
175
176
177\section{Bonus}
2e2b1ff2 178%\emph{Dans cet exercice, toute recherche sera valorisée.}
5c635029 179
2e2b1ff2 180On considère une pyramide régulière à base carrée. Le côté du carré mesure 1, et sa hauteur mesure également~1. Quelle est l'aire de cette pyramide ?
5c635029
DL
181
182\reponse{$\sqrt 5 + 1 \simeq 3,24$}
183
184\end{document}